I. - LIGNES ASYMPTOTIQUES
^62. Définition. — Les lignes de courbure possèdent la propriété d'être tangentes en chacun de leurs points A à l'une des directions principales en ce point. On appelle lignes asymptotiqiies (T une surface les lignes tracées sur la surface^ de telle façon qu'en chacun de leurs points A elles soient tangentes à P une des directions asyniptotiques en ce point.
Gomme les directions asyniptotiques en un point A ne sont réelles que si, en ce point, la courbure totale est négative ou nulle., les lignes asyniptotiques ne peuv.ent exister que sur les portions de la surface formées par les points A où la courbure totale est négative ou nulle.
/\l\ CHAPITRE XIII.
263. Équation différentielle des lignes asymptotiques projetées sur le plan des xy. — Nous avons vu (n° 228) qu'en un point A d'une surface, il existe deux directions asymptotiques AD ou AD', réelles ou imaginaires, ayant pour projections horizontales deux droites dont les coefficients angulaires sont racines de l'équation
(i) tm^-^ ?sm ^ 7- — o, ,
/', s, t désignant les valeurs des dérivées secondes de z par rapport à ^ ety, au point A.
Si l'on considère, sur la surface, une ligne asymptotique passant par A, cette ligne admettra pour tangente AD ou AD', et sa projection horizontale admettra pour tangente O'E ou O'E' i^fig- 122).
I.e coefficient angulaire de la tangente à une courbe, dans le
plan des xy^ est ^- Pour que cette courbe soit la projection d'une
ligne asymptotique, il faut et il suffit que ce coefficient soit racine de l'équation (i), c'est-à-dire que l'on ait
ou, en chassant les dénominateurs,
( 3 ) r dx- -^ is dx dy H- t dy"^ = o.
Telle est l'équation différentielle des projections des lignes asymptotiques sur le ^VxwxOy. Elle est du deuxième degré en ^- :
pour que les valeurs de -j- soient réelles, il faut et il suffît que
l'on ait
rt — 52 ^ o,
c'est-à-dire que la couibure totale soit négative oa nulle .
En intégrant cette équation, on trouvera, sur la surface, deux systèmes de lignes asymptotiques correspondant aux deux valeurs
de ^y-
dx
Remarque. — L'équation difréreiiLielle des lignes asyuiptot!(|ues peut s'écrire sous la forme simple
( I ) dp dx H- dq dy = o.
En effet, on a
dp = /' dx -f- 5 dy^ dq = s dx -l- t dy ;
en remplaçant dans (4), on retrouve bien Féquation (3).
•^Bi. Lignes asymptotiques d'une surface réglée gauche. — Sur une surface réglée gauche, une des directions asymptotiques AD, en chaque point A, est la génératrice AG passant par ce point : l'autre direction asjmptotique AD', en A, est alors nécessairement réelle. L'un des systèmes de lignes asymptotiques est donc formé par les génératrices rectilignes, car, en chaque point A d'une génératrice rectiligne AG, la tangente AD à la génératrice est une direction asymptotique Ifig- i5o).
Fig. i5o.
L'autre système est formé par les courbes admettant pour tangentes les droites telles que AD', qui donnent, en chaque point, la deuxième direction asymptotique.
265. Lignes asymptotiques d'une surface développable. — Comme, en tout point d'une surface développable, rt — s- est nul, les deux directions asymptotiques en tout point sont confondues. Les deux systèmes de lignes asymptotiques se confondent en un seul qui est formé par les génératrices rectilignes.
i266. Théorème. - Pour qu' une ligne soit une ligne asymptotique cVune surface^ il faut et il suffit, qu'en chacun de ses points, son plan osculateur soit tangent à la, surface.
En effet, imaginons d'abord une ligne quelconque tracée sur une surface. Le long de cette ligne, x, y, z sont des fonctions d'un paramètre \ vérifiant identiquement l'équation
de la surface et toutes celles qu'on en déduit par différentiation.
Une première dîfFérentiatlon donne, a\ec les notations précédentes,
( 5 ) dz — p dx H- q dy.
Une nouvelle difFérentiation donne ( 6 ) d"' z — p d- X -\- q d-y -\- dp dx -\- dq dy.
Va\ i;énéral, pour Cju'un plan
A(X — a7) + B(Y— jO-^<^(Z — •s) = o
soit, osculateur à une courbe, au point -r, )', ^, il faut et il suffit (n" 173) que Ton ait les deux conditions
^ A dx -\-\\dy -^ C dz = o, '' ] Ad-^x^Bd'-y-\~Cd'-z = o.
Actuellement, nous voulons chercher ce que doit être la courha pour que le plan tangent à la surface
— pi\ — x) — q(\—y)-^Z — z = o
soit osculateur à cette courbe. Les conditions (-) que doit remplir ifi courbe cherchée deviennent alors
{ dz — p dx — a dy = o,
en les rapprochant des relations (5) et (()), qui ont lieu pour une courbe quelconque tracée sur la surface, on voit que la courbe cherchée doit vérifier la condition
dp dx -!- dq dy = o.
C'est donc une ligne asjmptotique.
Par exemple, si l'on considère la surface réglée S, engendrée par les normales principales MN' d'une courbe gauclu', cette courbe gauche est une ligne asjmptotique de la surface S, car son jdan osculateur, en un point M, est é\idemment tangent à la surface, en ce point, comme contenant la tangente à la courbe, en M, et la irénéralrice MN'.
