III. - LIGNES DE NIVEAU ET LIGNES DE PLUS GRANDE PENTE
267. Définition. — Considérons une suiface (juelcoïK^ue rapportée à trois axes reetangiilaires, le plan des ./ )' étant horizontal. On appelle lignes de niveau de la surface les sections de la surface par des plans horizontaux
z = const.
Ces lignes se projettent en vraie grandeur sur le plan des xy\ si la surface a [)our écpiation
L's projections horizontales des lignes de niveau ont pour équation
*268. Équation différentielle des lignes de plus grande pente. — On appelle Lignes de plus grande pente les lignes tracées sur la surface et coupant à angle droit les lignes de niveau. Ces lignes sont, en chacun de leurs points, tangentes à la droite de plus grande pente du plan tangent à la surface en ce [)oint.
On obtient l'équation dillerentielle des [)rojections horizontales
des lignes de plus grande pente, en remarquant qu'elles coupent orthogonalement les projections des lignes de niveau. En elFet, par un point M(,r, )% z) de la surface, il passe une ligne de niveau et
une ligne de pente {fig. i5i). Les deux éléments infiniment pelits MM, et MM' de ces deux lignes sont orthogonaux ; comme Félément MM, est parallèle -au plan de projection, les projections horizontales de MM, et MM' sont rectangulaires; ce cpii démontre la proposition.
Appelons d^x^ ^tX^ o les projections de MM< sur les axes et d.r, dy^ dz celles de MM'. On aura
( 9 ) dx diX -\- dy d^y = o.
Mais l'équation de la ligne de niveau passant par M est
OÙ z est constant. I^e coefficient auiiulaire -^ de la tanoenie à la projection horizontale de cette courbe est
dl X F y
D'après la condition (9), on a donc pour coefficient angulaire de la tangente à la projection de la ligne de pente au même point
/ x dy F'r
On a ainsi l'équation difïérentielle cherchée, dans laquelle il faut
— et —
fonction de x, y, définie par l'équation de la surface. Il faudra alors intégrer cette équation (10).
regarder la quantité ^, qui peut rester dans -j— et — ^ comme une
ExEMl»Ll^. — Lignes de plus grande pente d\ui ellipsoïde. - Soit ui\ eilipsoïde, ra])porté à ses axes.
Les lignes de niveau sont les ellipses 3=zconst., obtenues en coupant la surface par des plans parallèles au plan horizontal. Comme on a
Féquation difTcrenlielle
F',, dy — F^. dx = o
de la projection horizontale des lignes de plus grande pente est
^- dy — ^ dx = o.
Cette équation peut être intégrée immédiatement : en efîet, on peut séparer les variables x el y en écrivant
dy dx
où m est la constante ^- On a alors, en intégrant et désignant
par k une constante d'intégration,
/ \jy = m L 37 -f- L k
ou
y = kx'".
Telle est, en termes finis, l'équation de la projection horizontale
des lignes de plus grande pente.
Comme vérification, supposons l'ellipsoïde de révolution autour
de O:;. Alors
et la projection horizontale des lignes de plus grande pente est
donnée par l'équation
y = kx,
qui représente des droites issues du point O.
C'e^t ce qui est évident a priori^ car, dans ce cas, les lignes de niveau sont les parallèles de la surface de révolution et les lignes de plus grande pente, les méridiens.
