JO

à la surface, en ce point; ou encore que la normale principale à la courbe, en chaque ])oinl, est normale à la surface. On rencontre ces lignes, quand on clierclie le cJicjnin le plus court dUm point à un autre^ sur une surface donnée. Ce chemin esl nécessairement formé d'un ou de plusieurs arcs de lignes géodésiques.

Pour nous r(mdre compte de cette propriété, nous emjdoierons des considérations tirées de la mécanique. Si Ton voulail praticpieuient déterminer le plus court chemin, entre deux points A et B, sur une surface parfaitement polie S, on tendrait entre les deux points, sur la surface, un (il assez lin pour que son poids soit négligeable par rapport à sa tension. Il est évideni qiu; toute position d'équilibre stable de ce fil donnerait une ligne joignant ces deux points et plus courte que les lignes infiniment voisines.

Nous allons montrer que cette figure d'équilibre est une ligne géodésique, c'est-à-dire une courbe telle que le plan osculateur, en chacun de ses points M, contienne la normale MN à la surface. En efTet, si l'on considère un élément ds du fil, placé en M, la seule force extérieure, agissant sur cet élément, est la réaction F de la .surface, réaction dirigée suivant la normale MN {^fig^ laa)., (-ar la

surface est supposée parfaitement polie. Or, on démontre en mécanique que, si un fil est en équilibre, la résultante V des forces extérieures appliquées à l'éléuient ds est située dans le plan osculateur du fil. Actuellement, la force F étant dirigée suivant la normale MN, cette normale est située dans le plan osculateur, en M, à la courbe d'équilibre. C'est ce que nous voulions démonher.

Les deux points A et B étant donnés, il peut exister plusieurs positions d'équilibre stable d'un fd tcnidu sur la surface, entre les deux points. Chacune d'elles donne une ligne réalisant un mini- !]ium, pour la distance cuiviligne entre les deux points sur

la surface : ce minimum est relatif, c'est-à-dire que chacune des positions d'équilil)re stable donne une ligne plus courte que toutes les lignes inliniment voisines tracées sur la surface entre les deux points A et B. Si l'on voulait la li<;iie donnant, sur la surface, le minimum absolu de la distance curviligne des deux points, il faudrait prendre la plus courte de toutes les lignes précédentes donnant des minimums relatifs.

Ainsi les chemins les plus courts, entre deux points, sur une surface, sont formés par des lignes géodésiques, joignant les deux points. Mais la réciproque n'est pas exacte : une ligne géodésique, joignant deux points donnés, n'est j^as nécessairement plus courte que les courbes infiniment voisines, tracées sur la surface entre ces deux mêmes points.

Imaginons, entre deux points A et B, une ligne géodésique de cette nature, c'est-à-dire une ligne qui n'est pas plus courte que toutes les courbes intiniment voisines tracées sur la surface entre les deux points; cette ligne est encore une position d'écjuilibre d'un fil tendu sur la surface entre les deux points, mais c^est une positio7i cV équilibre instable : c'est une position d'équilibre qui serait irréalisable si la surface était parfaitement polie et qui ne peut être réalisée physiquement que grâce au frottement.

i270. Lignes géodésiques du plan. — On ])eut dire que les lignes géodésiques du plan sont les droites du plan. En effet, le plus court chemin d'un point A à un point B, sur un plan, est la droite AB. Cette droite est la position d'équilibre d'un fil tendu sur le plan de A en B.

î271. Lignes géodésiques d'une sphère. — Les lignes géodésiques d'une sphère sont les grands cercles de la sphère. En effet, le plan osculateur, en un point quelconque d'un grand cercle, étant le plan de ce grand cercle, ce plan osculateur passe par le centre de la sphère : il contient donc la normale à la sphère.

Si l'on prend, sur la sphère, deux points A et B, il existe deux lignes géodésiques joignant ces deux points (^fig- i53) :

1° L'arc de grand cercle AMB plus petit qu'une demi-circonférence : ' ■

4 3 2 CHAPITRI': XI M.

2" L'arc de L;ran(l cercle APB supérieur à une demi-circonférence.

Ces deux arcs réunis forment un grand cercle complet. Prenonsles Fun après l'autre .

L'arc AMB est le plus court chemin, de A en B, sur la sphère :

c'est une position d'équilibre stable, pour un lil tendu sur la sphère, entre les deux points.

L'arc APB, au contraire, n'est pas un minimum relatif pour la distance entre les deux points A et B sur la sphère, car il est possible de trouver, de A en B, un chemin infiniment voisin et plus court, comme celui qui est figuré en pointillé. Cet arc APB serait encore une position d'équilibre d'un fil tendu sur la sphère entre les deux points A et B; mais ce serait une position d'équilibre instable, car, pour peu qu'on écarte le fil de cette position, il glisse sur la sphère et se détend.

!27l2. Lignes géodésiques d'un cylindre. - Les lignes géodésiques d'un cylindre sont les hélices tracées sur ce cylindre. Nous avons vu, en effet, que le plan osculateur à une hélice quelconque contient la normale au cylindre.

Nous pouvons vérifier ce résultat d'une autre façon : Soient deux points A et B sur la surface : imaginons une ligne plus courte que les lignes infiniment voisines tracées sur le cylindre de A en B. Si Ton développe le cylindre sur un plan, comme les longueurs des courbes tracées sur le cylindre ne changent pas, la ligne considérée deviendra la ligne la plus courte entre deux points d'un plan, c'est-à-dire une ligne droite. La ligne consi- 'dérée sur le cylindre est donc un arc d'Jiélice. Cette ligne est la

L1GM:S PARTlCULIlîRKS TRACEES SUR UNE SURFACE.

figure d'équilibre stable trun (il tendu sur le cylindre entre les deux points.

Supposons que le cylindre ait pour section droite une courbe fermée comme un cylindre de révolution. Alors, par deux points donnés A et B de la sut' face ^ il passe une infinité de lignes géodésiques qui donnent chacune un minimum relatif pour la distance curviligne des deux points sur la surface.

En effet, représentons-nous la surface du cylindre comme un rouleau de papier d'une longueur indélinie, l'épaisseur du papier étant infiniment petite. Supposons, en outre, que les points A et B soient marqués sur toutes les feuilles su|)erposées du rouleau; c'est ce qu'on réaliserait, par exemple, en perçant, avec une épingle, toutes ces feuilles superposées aux points A et B. Alors, en déroulant ce rouleau de papier sur un plan, on obtiendrait une bande de papier portant des points A,, B,, A^, Bj. . . .. A,^, B,,, . . . {Jig- i54),

Fis:.

ij'i.

en nombre indéfini, provenant tous des traces des deux points A et B; en enroulant de nouveau le papier, tous les points A,, Ao, . . ., A,^ iraient se placer sur A, tous les points B,, B^, ..., B„ sur'B. La droite AjB, donnera, après l'enroulement, un arc d'hélice joignant les deux points A et B, et cet arc sera plus court que tout arc de courbe infiniment voisin tracé entre A et B, sur le cylindre, puisqu'il se développe suivant une droite. De même les droites AiB^, A,B;{, ..., BjAo, BjAg donnent, après l'enroulemeni, des arcs d'Iiélice joignant les deux- points, chacun de ces

AiM'Ui,!,. — rlcmcnts d'Analyse. — st. 28

434^ CIIAPITUE XIII.

arcs étant plus courl que toute courbe infiniment voisine entre A et B.

On ari'iverait à ce même résultat avec des (ils tendus sur le cylindre, entre les deux points. En effet, on pourrait tendre directement un lîl sur le cylindre entre les deux points A et B. suivant AMB (ui APB, en le faisant tourner devant ou derrière; mais on pourrait aussi tendre des fils entre A et B, après les avoir enroulés sur le cylindre, une, deux. .... n fois, dans un sens ou dans fautre.

273. Lignes g'éodésiques des surfaces développables. — Dans le développement d'une surface développable sur un plan, les lignes les plus courtes de la surface doivent devenir les lignes les plus courtes du plan, c'est-à-dire des droites.

Ainsi, les lignes géodésiques d'une surface développable sont les lignes de la surface qui. dans le développement, deviennent des droites.

27 i. Déformation d'une surface : les lignes géodésiques se conservent. — Soit une surface S (pielconcjue : regardons cette surface comme une pièce d'étoffe parfaitement flexible, nuiis inextensible. Si Ton déforme cette étoffe, la surface cbange de forme; mais les lignes géodésiques se conservent. Si l'on a tracé sur la surface S une ligne géodésique, cette ligne est encore ligne géodésique de toutes les surfaces obtenues en déformant l'étoffe. Cela lient à ce que, l'étoffe étant inextensible, la longueur des lignes qu'on y trace reste invariable, et, par suite, les lignes les plu^ courtes restent les plus courtes.

On peut remarquer aussi que, dans cette déformation, l'angle sous lequct se coupent deux lignes tracées sur la surface ne cbange pas, car un triangle infiniment petit se transforme en un triangle dont la Joiiiiueur des colés csl conservée.

V. DIRECTIONS CONJUGUEES. — RESEAUX CONJUGUES. THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES.

275. Directions conjuguées. — Soient une surface quelconque S, A un [)oint sur cette surface. On dit (pie deux droites AB et AB',

passant par A, sotil (l(*s (llrcctions ('onjuL^iK'cs, (piaiid (41(\s sont silures dans \v plan tani;('nt en A, r[ lorincnl un système (1(^ deux diinnètres (M)nju«;ués de rindical liee i'e!ali\e au ])»)inl A. P;u' exemple, les (jlreclions [)rineipales, en un point. A d'une surface, sont eonjuj^iiées, ear (dles coiiK^dent awe les axes de rindicatrice.

!27(j. Réseaux conjugués. - luiai;inons, sui' une surface, deux familles de courbes telles que, par chaque ])oint A de la surface, il passe une courbe de cliac[ue famille et que les tangentes menc'cs à ces deux courbes, iui [)oint A. aient des directions conjui;uées. On dit ([lie ('es deux: familles de courbes forment un réseau conjugal, V'dv exemple, les lignes de courbure forment un r(''seau conpigu(''.

i277. Théorème des tangentes conjuguées. — Soil une courbe quelcon([ue ((o, trac(''e sur une surface S : considérons le plan tangent I* à la surface, en un point cpielconque A de ccîtte courbe {^i\)\ ([uand le point V d(''('ril la courbe ( C ), le plan tangent P enveloppe une surface d(''\elopj)able, qu'on a[)pelle la développable circojiscrite à la surface le long de (C). Le plan P touche cette d(''\ eloppable suixant une gx'nératrice rectiligne AG passant par le point V i^fig. i55) : cette gén(''i"atrice, ([ui est la

Fiff. t55.

€aractéristi(^{ue du plan mol)ile, est rinlersection du plan tangent à la surface, en A, et du plan tangent au point A' de ((V), intiniment voisin d(! A. On peut alors ('•noncer le th(''or("Mue suivant, ([ui est constamment (îinplojé dans la th(U)rie des lignes d'omlire :

La. direction AG de la génératrice de contact est conjuguée de la direction AT de la tangente à la courbe ( C).

Pour le démontrer, remarquons que, le long de (G), les coordonnées x^ r\ z d'un point A sont des fonctions d'un paramètre a. qui vérifient identiquement l'équatibn de la surface donnée

Le plan tangent P, à la surface, au point Kix, y. z), a pour équation

où p et q sont fonctions de A, par l'intermédiaire' de x et y. L'équation du plan P dépend donc d'un paramètre A; ce plan enveloppe, quand A varie, c'est-à-dire quand le point A décrit (G), une surface développable (n'* 236 ). Pour avoir la droite AG, suivant laquelle ce plan touche son enveloppe, c'est-à-dire la caractéristique du plan P, il suffit d'associer à l'équation (P) celle qu'on en déduit en la dl fièrent iant par rapport à A.

On a ainsi, puisque x, r, :;, /?, rj dépendent de A,

Or, z^ p et q dépendent de A, par l'intermédiaire de ^ et )'; on a donc, comme plus haut (n" 255 ),

dz

dx dv

dp d\

dr dy ak dK

dq dl

dx ^ dy

L'équation (Q) devient alors, en réduisant et multipliant j)arc/A,

( W ) {\ — x)(rdx^sdy)-h(Y —y) (sdx-ht dy) =^ o,

équation d'un plan passant par le point A(x, y, z). La caractéristique du plan P, définie par les équations (P) et (R), est donc une droite AG, passant par A. Il reste à montrer que cette droite AG est conjuguée de AT.

Les cosinus directeurs de la tangente AT à la courbe (G), Heu du point X, y, z, sont proportionnels à dx^ dy, dz. Prenons le

point A pour origine, pour axe des z la normale, pour axes des oc et des y les direetions principales, en A. Alors x^ y, z^ /?, q, s s'annulent; /• et / prennent des valeurs /*o et t^^. L'écjuation du plan tangent P de\ ient

celle du ])lan R devient

( W) X /'o dx -^ Y tQdy = o.

La droite A(i est alors définie par cette dernière équation, puiscpr elle est dans le plan des ocy^ Z = o. La tangente AT est également dans le plan des xy et a pour coefficient angulaire

dx L'équation de la droite AG peut donc s'écrire

X/'o-;~ Y tQfu = o.

C'est bien le diamètre conjugué de AT, par rapport à l'indica- Irice

On sait, en efïet, que le diamètre conjugué de la droite

Y = mX,

par rapport à une conic{ue

r(^,Y)=:o, est

Cv -h nioy = o. .

DIFFÉRENTIATION SOUS ].E SIGNE j^ .