INTÉGRALES PRISES LE LONG D'UNE GOURBIS

I. — DIFFÉRENTIATION SOUS LE SIGNE f . !27<S. Règle. — Considérons une intégrale définie .

dans laquelle la fonetion, soumise à rinlégralion, dé|)end (\ \\\\ paramètre A, indépendant de x^ les limites a el b élanl d(;s ([nantités indépendantes <le A. Cette intégrale définie I est alors rine fonetion de A et, dans eertains cas, on peut avolf à calculer la dérivée de I par rapport à A.

On peut, dans un grand nond)re de cas, obtenir cette déiivée par l'application de la règle suivante :

La d(''rlv<''c de V intégrale 1, par rapport à "a, est égale à r intégrale de la dérivée de f(x, X) par rapport à A

— 7- = / -^- dx.

pourvu que la nouvelle intégrale^ ainsi de finie, ait un sens En eiFet, j)ar hypothèse, on a

DIFFÉRKNTIATION SOUS LE SKiNK /. 439

Donnons à A un accroisscmenl Aa; 1 prend un accroissement AI et les limites ne cliangent pas, car elles sont supposées indépendantes de 1. On a donc

I — Al 3= f /(.r, À -r- M)dx,

d'où

A! - r [/(.r, À -f- AX) ~f(x, À)l ^.r.

Divisant par Aa, cm a

AÀ

Si nous admettons que l'intégrale

a un sens, nous voyons que, Aa tendant vers zéro, l'expression

de T^ tend vers / • ,? ' rix. On a donc, d'après la définition Aa . / ÔK *-

même de la déîivée,

d\ r''ôf(x,l), «^ ti

On peut dire que Ton obtient la dérivée de I, f>ar rapport à), en dérivant par rapport à A sous le sii;nc / •

En appliquant de nouveau la même règle, on a ensuite

d^\ r" d-if(x. À) ,

*- il pourvu que cette nouvelle intégrale ait un sens. Et ainsi de suite.

279. Exemple I. — Cette règle permet de déduire d'une intégrale connue d'autres intégrales. Ainsi, considérons rinlégiale

44f> CHAPITRE XIV.

Cette intégrale est aisée à calculer, car l'intégrale indéfinie est r sinA^; on a donc

(2) 1— -(sinXi — sinÀrt).

Calculons les dérivées successi^es de l'intégrale (i); d'après la règle précédente, nous aurons

D'autre part, comme I est connue explicitement par la formule (2), on peut calculer directement ces dérivées. On a ainsi les formules

Jr . ^ , d / s i n À /> — si n À rt ' X sinAxdx= — I :

I X- cos A X dx = —7^