DIFFÉRE.NTIATION SOIS LE SIGNE

avonsrdcsigiire par A. Nous avons trou\é, dans ce numéro.

e-^-«^sina7 dx

On a donc

Connaissant la dérivée de I par rapport à A, nous aurons I en prenant les fonctions primitives des deux meml)res regardés comme fonctions de À,

(4) I =— arc langA -h C,

C désignant une constante indépendante de A.

Il reste à déterminer celte constante. Pour cela, remarquonc i{ue l'intégrale I, définie par la relation (3), s'annule quand À augmente indéfiniment, car le facteur e~^'^ tend vers zéro. La nouvelle expression (4) de cette même intégrale doit également

s'annuler, pour }. z= oo. Comme arc tang:>^ =1= -, on doit donc

avoir

ce qui donne définitivement,

I = - — arc tanirÀ.

L'intégrale l est ainsi calculée en fonction de X.

Casparticulier. Faisons tendre a vers zéro. Le facteur e-^-^ tend vers i : on peut démontrer rigoureusement que l'intégrale ï

tend vers / dx\ d'autre part, arctano), tend vers zéro, on a

donc

dx — - X -1

Nous avons étudié cette intégrale délinie, dans le iV" 138, poui montrer qu'elle a un sens; mais jusqu'ici nous n'avions pas donné sa valeur numérique.

281. Exemple d'un cas où la règle ne peut s'appliquer. — Comme iiôus Favoiis dit, la règle exi<^e que l'iiitéi;rale

ait un sens. Si celle intégrale n'a pas de sens, cela ne veut pas dire que Tinté" raie

■ï = / /(a?, À) dx

n"a pas de dérivée, mais seulement que cette dérivée n'est plus fournie par la règle simple que nous avons donnée. Prenons, par exemple, l'intégrale

r^ sin À

- dx.

En prenant la dérivée par rap[)ort à A sous le signe / > on est

(Conduit à l'intégrale

qui lia pas de sens. C'est ce qu'on verrait, en construisant la courbe sinusoïdale

y = COSÀX,

qui se compose d'ondes toutes égales entre elles, et en remarquant que Taire de cette courbe, de o à oc, n'a j)as de valeur déterminée (voir n^' 135).

On ne peut donr pas, acluellemenl, ealculer la dérivée — ])ar

la règle de la diflférentiation sous le signe / • Mais cela ne \eul pas dire que cette dérivée n'existe pas. jNous allons voir, en effet, que cette dérivée est nulle.

Supposons, pour fixer les idées, À ^ o, et faisons, dans J, le changement de variable

À V = Il ^ À dx =^ du ; les nouvelles limites, pour w, sont encore o et -}- x ; on a donc

DIFFÉRENTIATION SOUS LE SIGNE f. 44^

expression uid(' pendante de K. Doiu , (juaiid a varie crime manier coiiliiiue par valeurs positives, ,) i-estc; eonstant et Fou a

On arrive à un résultat analogue pour A < o. On fera alors

, dit

AX ~ — K, dx — ^

(Juand X varie de o à + oo, u varie aussi de o à + ^c et Ton a

J =: / du ,

expression indépendante de A.

Il se [)résente iei une cireonstanec; eurieuse, sur laquelle il est bon <ralLirer l'attention. L'intégrale

/ dx ou / du

est. d'après le numéro [)récédent, égale à - • L'inlégrale

dé|)cnd de A de telle sorte que :

A ayanl une vAievw positive quelconque^ J = -;

A avant une \aleur négati^^e quelconque^ .1 = — -; A a\anl une valeur nulle ^ J rz= o.

Ce dernier point est évident, ear, pour A = o, tous les éléments de l'intégrale sont nuls.

^8^2. Différentiation d'une intégrale définie par rapport à un paramètre qui figure sous le signe / et dans les limites. — Considérons une intégrale définie

/ /ly^, >^

) dx,

444 CIIAPITRK XIV.

OÙ A est un paramùtie Indépendant de x. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les limites a ei b étaient indépendantes de X. Supposons maintenant que a et b soient des fonctions de A et proposons-nous de calculer la dérivée de I par rapport à A.

Appelons cp(:r, A) une fonction primitive de/(.'r, A) par rapport à X, c'est-à-dire une fonction telle que

Par définition, l'intégrale délinie 1 a pour valeur

on voit qu'elle dépend de A directement et par l'intermédiaire de a et ^, qui sont supposés fonctions de A. On a donc, d'après la règle de dérivation des fonctions composées,

dï d\ da d\ db d\ dk ôa dk ' db dk âk

Calculons successivement ces trois termes. La dérivée partielle

de !, par rapport a ci-, -r-y est égale a '— , c esl-a-dire,

d'après l'identité (5), à — /(«, A); la dérivée partielle de T, par rapport a />, -j, est ' . — -) c est-a-dire, d après 1 identité (.)), /'(6, a); enfin, la dérivée partielle de I, par rapport à la lettre a, qui ligure explicitement dans l'expression (6), — ^ c'est la dérivée de l'intégrale I, par rapport à A, quand on regarde les limites a et b comme des constantes; cette dérivée, -— » est donnée par la

règle de dérivatiini sous le signe /

d\ r''àf(.r. X)

dx.

dX . / dk

En définitive, on a la formule suivante :

d\ ^, . da ... .^dh C àf(x,k).

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES. 4 i^

II. - INTEGRATION DES DIFFERENTIELLES TOTALES. 283. Différentielles totales à deux variables. — Soit

une fonction de deiuc variables indépendantes x el y : nous avons appelé diffi'ri'iitielle totale de a l'expression

du , du ,

du = — - d.i- H- -— av. ax ày

T>. • du du 1 f •

Dans cette expression, — - et — - sont des lonctions connues ^ ^ ôx ôy

de ^ et r; ce sont les dérivées partielles de z/, par rapport à x

et à y.

Problème inverse. — • In\ersement, étant donnée une expression de la forme

( 7 ) /(.r, y) dx^c(x, y)dy,

on peut se demander s'il existe une fonction «, de x et j', admettant cette expression pour différentielle totale, c'est-à-dire s'il existe une fonction a telle que l'on ait identicpu^menl

du=f{x,y)dx-^z{x,y)dy.

Cette question peut aussi être posée sous une autre forme :

comme

c)u du

du = — dx -h — dy.

ox ^y

la question revient à demander s'il existe une fonction ^/, de x

et r, telle que

du ., , du ,

;:;=/(•'■•. r), jp = 9(-^-r)-

Lorsque la fonction a existe, on dit que l'expression (-) est une différentielle totale exacte. La fonction a est V intégrale de cette différentielle totale.

Nous allons montrer que, les fonctions / et cp étant quelconques, l'expression (-) n'est pas, en général, une différentielle totale

exacte : pour qu'elle en soit une, il faut et il suffit que les fonctions y et cp remplissent une c^ondition (Jonnée par le théorème suivant :

Théorèmi':. — Pour que V expression

f{x,y)dx-^-o{x,y)dy

soit une différentielle totale exacte, il faut et il suffit que l'on ait identiquement

df Oo dy ox

i*^ La condition est nécessaire. — En elTel, supposons qu'il existe une fonction m, de x et y, telle que

du = f{x, y)dx-h^{ X, y ) dy

ou, ce qui revient au même, telle ([ue ()u du

En dérivant la première de ces relations par rapport à x^ la <leuxième par rapport à )', on a

(f^u âf <Pu âo

Ox Oy Oy Oy ôx dx

d^ u d-^ u et comme = —, on a

d,t: dy dy ox

dy dx

i"" La condition est suffisante. — Soient deux fondions f(x.y) et 's(x,j-), Nérifiant cette condition (8j; nous allons montrer qu'il existe une fonction u, admettant

f(x,y)dx-^'^(x,y)dy

pour dillerentielle totale, c'est-à-dira vérifiant les deux relations

(9) dx=-^'-''^^^^^ .>^=?^'^'^)'

et déterminer cette fonction.

INTÉGRATION DKS DIFl'ÉRIiNTIELLES TOTALES. 44/

Pour cela, clierclioiis d'abord la fonction w, de a: el y, la plus i^énérale, vériiiant seulement la première des conditions (9)

au j,, .

Gomme, dans la dérisation par rapport à x. y est traité comme une constante, la fonction la plus générale //, vérifiant cette dernière condition, est une fonction primitive de/(^,j^), par rap- ])ort îix. augmentée d'une constante arl)itraire indépendante de x. i )n a donc

où la constante arbitraire indépendante de x est une fonction quelconque de y que nous désignons par ^'{y)- i^a limite inférieure x\ de l'intégrale, est un nombre quelconque que, dans chaque cas particulier, on clioisira de façon à simplifier les calculs.

La fonction «, ainsi calculée, est la fonction la plus générale ^érifiant la relation

Nous allons maintenant déterminer g'{y)^ de façon que cette fonction a vérifie aussi la relation

du

ây • ^ ■ - ^

Pour calculei^ la dérivée de la fonction (10) par rapport iiy,

remarquons que, sous le signe / ? la lettre y figure comme un

paramètre indépendant de x et ([ue les limites Xq et x sont indépendantes dey, on peut donc appliquer la règle de la dérivation

sous le signe / et Ton a

(hi __ r^' df(x, y) ^ ^/^f.r) ()y J dy ' dy

On doit donc avoir

r'' ô/{.T, y) df^{x, y) ^ ^

/ -" -^dx-\- ' \' -^ ' =z<o(x,y).

448 CHAPITRK XIV.

Remplaçons -^ par la quaulité identique, par hypothèse, y-- La relation devient

Mais l'intégrale indéfinie de ^ ' clx est o[x. y): l'intégrale définie, entre les limites Xq et x, est donc

et l'équation à vérifier devient

ou. en réduisant.

En intégrant par rapport à y, nous aurons g'{y) :

,iy) =/;'

où C est une constante, ne dépendant plus ni de x, ni de j^; la limite inférieure j^^, est un nombre cjuelconque. Remplaçant g{y) par cette détermination dans l'exj^ression (lo), on a enfin

(il) a= f{x, y)dx-\- l o{x^,, y) dy -\- C.

Dans cette formule, la première intégration est faite, en regardant jk comme constant.

JjC problème est ainsi résolu : en supposant remplie la condition

ôy Ox

nous venons de trouver l'expression générale des fonctions «. ayant pour différentielle totale fdx-\-ody] cette expression contient une constante arbitraire C.