INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES

284. Exemples. — i" Prenons d'abord un exemple tout à fait îlémentaire, en considérant Texpression

,jK dx + X dy.

Actuellement,

On a donc

ôf ' ()x '

et la condition d intégrabilité

ôf do ()y <)x

est remplie. L'expression proposée est une différentielle exacte et son intéi^rale u est donnée par la formule

u = I y dx H- / .To dy

Eftecluons les intégrations, nous avons

it = xy — Xoy -i- Xoy — Xoyo -^ G ou, après réduction,

u = xy -r- K,

une constante évidemment

K désignant une constante. La vérification est immédiate : on a

du = y dx -+- X d\ .

Dans ees calculs, le choix de x^ et j'^, est arbitraire. On pourrait, par exemple, faire oco= o, ^7'o = ^^- Alors la formule donne

li = I y dx + C = xy -~ C .

2*' Considérons l'expression

( '2X- -i- ixy -i~ y^) dx ■+■ (x^ -h •->. xy -\- 3y- ) dy.

Cette expression est une différentielle totale exacte, car la dérivée du coefficient de dXj par rapport à y,

APPKi. !.. — Éléments d'Analyse. — st. » 21)

43o CHAPITRE XIV.

est égale à la dérivée du coeflicient de dy^ par rapport à x. L'intéi;rale de cette différentielle est alors

u = I {ix^ -h 'ixy -r-y- ) dx -\- 1 (xl -+- -ix^y -i- '.\y') dy -r- G.

La première intégrale, dans laquelle y est traité comme une constante, est

-Y -^x'-y -^.-xy'- ^ x-^y — x^y^; .

la deuxième est

x\y + x^y'^^ y-^ — xly^ — x^^yl —yl .

Remplaçant et simplifiant, on a

Il = — ; h x-y -h y'^ X -+- y^ -+- K . •

où K est une constante. Les constantes ^o ety^ étant quelconques, on pourrait, en les supposant nulles, simplifier le calcul.