ÎII. - INTÉGRATION LE LONG D'UNE COURBE PLANE

28o. Définition. — Soit, dans un plan xOy^ une courbe Ll {fig. i56); prenons, sur cette courbe, deux points Mq et M, de coordonnées Xq^ y^ et ^, j'. Considérons, d'autre part, une expression de la forme

où/" et '-D sont deux fonctions données de x ely. Nous allons définir ce qu'il faut entendre par intégrale def{x,y) dx-\-o[x.y)dy prise, le long de la courbe C de My en M.

Divisons l'arc Mo M en n parties par des points intermédiaires M,, M2, ..., M/i,, ayant pour coordonnées respectives (:r,,jKi)« (^To, j'o), ..., {x,i^\i y,i-\)i et considérons la somme

/( -^0, JKo ) ( •2:-i — ./■., j -^ 9 ^ -^0, JKo ) (jKi — JKo )

-^/(^2,r2)(^3— ^2,)-i- ?(>-2, .r2)(jK3— JK2)

-^ /"(-a^/z-l, JK""l)(^" — ^«-1) -H '^{'^n-X,yn-i){y —yn-\)-

INTÉGRATION LE LONG d'uNE COURBE. 45»

Si Fan fait croître ii indéfiniment, de telle façon que toutes les distances Mo M, , M, Mo, . . . , M//i M tendent vers zéro, cette somme

FIg. i5(J.

Mtv-i

Uo

tend vers une limite qui est, par définition, Vintégrale de

f{x,y)dx^o{x,y)dy,

prise ^ de M„ en M, le long de la courbe C. On désii;ne cette intéorale par la notation

f{x,y)dx-\-o{x,y)dy.

^86. Expression par une intégrale simple ordinaire, — Il est facile de ramener le calcul d'une intégrale de ce genre à celui d'une intégrale simple ordinaire. Les coordonnées d'un point quelconque de la courbe C [)euvent s'exprimer, en fonction d'un paramétre ^,

(2) x = l{t), y='At)^

de telle façon que, /. variant d'une maniéi'c continue de t^^ à ;,, le point (r, y) décrive l'arc M^^M, de M,) en M. En faisant, dans l'intégrale (i), le changement de variable défini par les formules (2),

on a

dx = \'{t) dt. dy = [x' {t) dt,

et l'intégrale devient

on est donc ramené à une intégrale simj)le ordinaire.

Si Ton prend Fintégrale de la même expression ft^dx -\- '^ dy le long de la même courbe, mais en sens contraire de M en Mq, on obtient le même résultat changé de signe. La nouvelle intégrale obtenue se déduit, en effet, de l'intégrale (3) par V inteiversion des limites.

Cas d^ une courbe fermée. — 11 peut arriver que le point d départ M,, et le point d'arrivée M coïncident {fig. ijj). L'inté

Fk

grale est alors prise le long d'un contour fermé C, dans un sens déterminé, positif si l'aire enveloppée est à gauche du mobile (sens indiqué par la flèche), négatif dans le cas contraire.

En exprimant les coordonnées d'un point du contour G en fonction d'un paramètre t par les formules (2), de telle façon que, t variant de t^ h ^,, le point décrive le contour une fois de M,, en Mo, dans le sens voulu, on transforme l'intégrale en une intégrale simple (3). Si l'on prend Fintégrale de la même expression f dx -f- ç dy sur le même contour de Mq en Mq, mais en sens contraire, on obtient un résultat égal et de signe contraire au précédent, car dans l'intégrale finale (3) les limites sont interverties.

Mais il est important de remarquer que, le contour fermé G et le sens de parcours étant donnés, la valeur de l'intégrale est déterminée : elle est indépendante du point de départ Mq.

En effet, prenons un autre point de départ P^ et adoptons le sens positif de la ligure iT)^. On a, pour l'intégrale prise en partant de Mo,

r = / f dx -h cp dy -h / f dx -f- o dy., et, pour l'intégrale prise en partant de P,,'

J/^tMoi ^(P„i

INTÉGRATION LE LONG d'uNE COURBE. 453

les intégrales I el V sont donc égales comme sommes des deux mêmes intégrales.

En résumé, une intéorale cursilione

j fdx-^ody

prise le long d'un contour fermé C est définie quand on donne le contour et le sens du parcours. Si le sens est positif, on désigne l'intégrale par

rindice inférieur (G) indiquant le contour et le signe + placé au-dessus du signe d'intégration indiquant que Fintégrale est prise dans le sens positif.

La même intégrale prise dans le sens négatif, sur le même contour, serait

Ces deux intégrales sont égales et de sii^nes contraires.

287. Quelques exemples d'intégrales prises le long d'une courbe plane. — Nous avons déjà rencontré plusieurs exemples d'intégrales de la nature de celles que nous venons de définir.

Ainsi, l'aire d'un segment de courbe limité par un arc de courbe M,)M,, par l'axe Ox et par les deux ordonnées extrêmes est égale à l'intégrale

y dx,

prise le long de l'arc MqM,. En particulier, l'aire d'une courbe fermée G (n*^ 43) est donnée par l'intégrale

y dx

prise le long de la courbe. Dans cet exemple, on a

L'aire d'un secteur de courbe, liaiîté par un arc M,» M et deux rayons vecteurs OM^ et OM (n"" i6), est donnée jnir l'intégrale

- j (x dy — y dx )

prise le long de l'arc M^M, et, en particulier, l'aire dune courbe fermée est donnée par cette même intégrale prise le long de la . courbe fermée dans le sens positif {\\^ 47). Dans ce deuxième exemple.

ii:iiiu i:i I 1 1 /-•/ » l'i »-■ <it-»i< I •!-■ 1 1 I !•«-" X (

irravité et des moments d'inertie, des intégrales de la forme \ y-dx^ I y^dx, \y*d-^'i 1 ^'y'-dx, ...

prises le long de courbes planes.