LÀ

I '1 iT -h I

(8) r^^=LA(^+v/^MW),

la constante A ayant le même signe que le facteur qui la suit, et la constante / étant quelconque.

On ramène immédiatement à ces intégrales les suivantes dans lesquelles k est une constante positive, racine carrée arithmétique de k-' :

r dx i ^1 X

(9) / ,. = / — = arcsin-,- + C,

(II

/dx I

28. Changement de variable dans une intégrale indéfinie. — Un procédé très important d'intégration est le changement de variable. Soit à calculer l'intégrale indéfinie

(12) {=Jf{x)dx.

Par définition, I est une fonction de x telle que

dï =f{x)dx.

Posons

t étant une nouvelle variable. I devient une fonction de t^ par l'intermédiaire de x et l'on a

d\=f[^\{t)iY{t)dt.

Donc

^=^fm{t)W{t)dt.

En résumé, pour faire dans une intégrale I telle que (12) le changement de variable .r = 'J;(/), il suffit de remplacer, sous le

signe / , X par <}j{t) et dx par sa valeur '}j'{t)dt\ on est alors

ramené à calculer une intégrale en t qui peut être plus simple que

48 CHAPITRE in.

la proposée. Si l'on peut la calculer, on aura

I =cï>(^)^C;

on obtiendra alors l'intégrale (12) en remplaçant t par sa valeur en X tirée àe, x ^=^^{t).

Soit, par exemple,

faisons

a dt ir = atang^, ct.v = — ;

comme on a

cos2 1 l'intégrale devient

I = -^ / cos^ dt — —- sin^ -h G,

d'où, en revenant à la variable x^

29. Quelques intégrales usuelles. — On peut facilement ramener aux intégrales types les suivantes :

(I) f(a. + brdr, /;^.

^ ^ . • J ax^-i- bx -h c

J y ax- -+- bx

où a, 6, C sont des constantes.