II. — CALCUL D'UNE INTEGRALE DOUBLE EN COORDONNEES . RECTANGULAIRES

296. Méthode générale. - Pour évaluer le Aolume \ limité par la surface

el la surface cylindrique de base G, nous avons été conduits à l'intégrale double

étendue à l'aire G. Quand on emploie des coordonnées rectangulaires dans le plan des xy^ on divise l'aire G en rectangles infiniment petits par les lignes x = const., y = const., c'est-à-dire par des parallèles aux axes de coordonnées, comme le montre la figure 16.).

Si l'on appelle Aa? et \y les dimensions d'un de ces rectangles parallèles aux axes O^ et Oy, l'aire A(o de ce rectangle est

\ro = lxly:

le volume V, qui est, en général, la limite de la somnui des produits ^Ato, est alors la limite de la somme des produits z ^x ^y. On écrit dans ce cas

j j zdxdy

OU, en remplaçant 3 par sa valeur, tirée de l'équation de la surface S,

riiitéi;iation étant étendue à l'aire de C.

Voici coinuient on conduira le calcul pour évaluer cette double somme. Le problème est de calculer la somme des volumes des cylindres z dx dy^ en prenant successivement pour base, dx dy, de ces cylindres, tous les rectangles infiniment petits, dans lesquels on a divisé la base G. Commençons {fig. i66) par évaluer la

Fig. ir;;,.

somme T de ceux de ces cylindres, qui ont pour bases les éléments superficiels dx dy\ compris entre les deux parallèles PA et P, A,. à l'axe Ox. ces parallèles étant supposées infiniment rapprochées et situées à une distance dy l'une de l'autre.

OP

Ol\=y^-dy, dy>

La somme T de ces cylindres forme une tranche du volume \. comprise entre les deux plans verticaux, ayant pour traces PA etP,A,. L'un quelconque des cylindres de cette tranche a pour

volume z dx dy, ou

• ^ f{x,y)dxdy\

CHAPITRK XV .

y et c/j' sont les mêmes, pour tons ces evliiidres; ou peul doue. dans leur somme, mettre dy en facteur et regarder j' comme constant; ce qui donne, pour le volume de la tranche T,

T =: dy :^ somme des produits f{oo, y) dx.

Celte somme est une inlégrale simjile prise par rap[)ort à x\ donc

^y j fi^.y)

dx.

Il reste ù \()ir entre quelles limites doit être prise cette intégrale simple par rapport à x. La droite' AP, située à une distance 0\^=zy^

Fi?. lin'K

entre dans Faire L\ par un point M<, d'abscisse ;r,, et en sort par un point Mo, d'abscisse x.^ : ces deux abscisses sont connues, en fonction dey, puisque la courbe C est donnée. Pojh- obtenir tous les cxlindres contenus dans la ti-anche T, il faut faire la souime des [yroàn'vls f [x ^ y) dy dx ., en laissant <:/}^ et y constants et faisant \arier x de x^ à x-y : on a donc

li=dyj ^ f{x.y)dx.

Ainsi la tianche T s'obtient par une quadrature. Cette (juadra-

tiire étant supposée faite, l'intégrale simple

f{x, y)dx

est une fonction connue de j', car y figure sous le signe / et les

limites x^ et x^ sont fonctions de y. On peut donc poser, pour abréger.

La tranche considérée T, comprise entre les plans verticaux ayant pour traces PA et P< A, . est donc

. T='b(y)dy.

Pour avoir le volume total, il reste maintenant à faire la soiiime <le ces tranches : cette somme est une intégrale simple

(r)dy-

^ 030ns entre quelles limites elle doit être prise. Pour obtenir toutes les tranches T, il faut donner successivement, à la droite PA, toutes les positions possibles dans lesquelles elle traverse l'aire C. Si donc nous menons les deux tangentes à la courbe C parallèles à Ojc, soient PoA,, et P'A', et si nous appelons y^ et jk les ordonnées de ces droites

OP

il faut faire varier OP = j)' entre ces deux limites. On a donc, tlnalement, pour V, somme de toutes les tranches T,

OÙ '\'{y) a la signification suivante :

48o CHAPITRE XV.

On peut écrire aussi la formule finale

y)dx,

formule qu'il faut comprendre comme il suit : on calcule d'abord

/ f{x^y)dx] cette intégrale est une fonction de y\ on multi-

plie ensuite cette fonction dey par dy et l'on intègre de jv'o ^7 •

Quand on évalue ainsi le volume, en rangeant les cylindres élémentaires zdx dy^ par files parallèles au plan des zx^ on dit qu'on intègre d'abord par rapport à x^ parce que la première intégrale à calculer.

f{x, y) dx,

est une intégrale par rapport à ^. La deuxième intégration se fait par rapport à y.

Il est évident qu'on pourrait opérer dans un ordre inverse, en intégrant d'abord par rapport à jk, c'est-à-dire en calculant d'abord une tranche du solide comprise entre deux plans parallèles au plan J'0;3, d'abscisses x et x-^dx^ puis en faisant la somme de ces tranches.