Premier exemple. — Considérons la surface

z = xy.

Prenons comme courbe G, dans le plan des xy^ un demi-cercle DEF, ayant son centre H sur O^, à une distance OH = 2 et pour rayon i {^fig. i^;)- Le demi-cercle a pour équation

(G) {x — iy^y'-=.\.

Le volume cherché V est limité, latéralement, par la surface cylindrique ayant ce demi-cercle pour directrice, en bas par le plan des xy. en haut par la surface

z = xy.

On a

y = I I z dx dy = I I xy dx dy ,

rintéorale étant étendue au demi-cercle C. Prenons d'abord la somme T des cylindres élémentaires

xy dx dy,

dont les bases dx dy sont comprises entre les deux parallèles

Fig. 167.

à Ox, PA et Pi A,, d'ordonnées y et ^^ H- dy. Nous aurons ainsi une tranche du solide

T = dy I xy dx ;

dans cette tranche, y et dy sont constants; :7' varie depuis ^,, abscisse du point d'entrée M, de la droite i^A, jusqu'à x.y, abscisse du point de sortie. Donc

xy dx.

Les limites Xi et X2 sont des fonctions dey, fournies par l'équation du demi-cercle C,

dans laquelle y a la valeur 01*. On a donc

^2+^1=4» ^2 — x^=.i\Jï — y-.

xy dx est '—^^ et l'intégrale défi

/ xy dx = —(xl — x-^).

APPELL. — Éléments d'Analyse. — st.

nie

Remplaçant j", el ^^ par leurs valeurs, on a

C'est là la fonction '^^{y) du cas général. La tranche T est donc

l\)ur avoir le volume, il faut maintenant faire la somme de ces tranches.

- j 4jk/i— jK-^/j.

On remarque que, pour obtenir toutes les tranches, il faut déplacer PA entre O^ et la tangente au cercle P'A', parallèle à O.^; il faut donc faire varier y de o à i, et l'on a

^ = j i^V' —y'-dy.

L'intégrale indéfinie s'obtient immédiatement, car /i y dy est ^ à un facteur numérique près, la différentielle de i ~— J", de sorte qu'on peut écrire

l'inléarale indéfinie est donc

et l'intégrale défini(\ entre les 1 i mites jk= o el y = i , est

!21)8. Deuxième exemple. — Prenons comme base d'une surfa.e cylindrique le triangle OEF, limité par les axes O^, Oj' et par la droite EF (fig- lOS) ayant pour équation

puis, considérons le volume limité par celte surface cylindrique, le plan des xy et la surface

INTKGRVLES DOUBLES ET TRIPDES. — ' APPLICAXrONS. 4^3

Le volume \ est donné ])ai' la formule

Y =ff{ ■>^ ^^ -^y^ -\-i)dxdy,

rinlé^rale élanl étendue à Vw'wv. du triaiijjîe OEF. Evaluons d'abord la somme des ejiindres él(''mcnlaires {p. x- -\- y- -{- i ) dx dy^ compris

Fiff. iGS.

E jc

■entre les deux droites PA et l*iA,, parallèles à O^, ayant pour ordonnées j' et )' + dy. Cette somme est une tranche T dn volume donmîe par

dy i {■i.x--^-y'^-^\\)dx:

les limites é>Q ct'li'C intégrale sont les abscisses x^ et x^ des points V et M2 où la <iroit<3 PA, d'ordonnée j^, <*<3upe k -('oiitour de l'aire (le bas<î OEF; on a donc

•comme; il résulte de l'équation de la droite EF. Ainsi

T = dy I ( 2 X- -h y--r- i ) dx.

L'inlé^rale indélini^^ est

et rintégrale définie, entre les limites o et i — y.

Donc

^(i— jk)3-+-jk2(i — :K)-f-i— r-

T = û?jK |(i— r>'^j-— r^+i— r

Pour avoir le volume tout. entier, il faut faire la somme de toutes les tranches analogues, en déplaçant P de O en F, c'est-à-dire en faisant varier y de o à i ,

L'intégrale indéfinie est

et l'intégrale définie, entre les limites o et i,

299. Interprétation géométrique du calcul. — Si nous reprenons le cas général, nous pouvons vérifier que la méthode actuelle, pour le calcul des volumes, revdent au fond à celle qui a été exposée au n** 48 et qui consiste à regarder un volume comme la somme des tranches infiniment minces, obtenues en le coupant par des plans parallèles à un plan fixe.

En effet, l'intégrale

f{x,y)dx

z dx

représente l'aire de la section M, R, R2M2, faite dans le volume V, par le plan vertical, de trace PA ^fig. 166). Cette aire est une fonction <l>(j>^) de l'ordonnée OP =JK- La tranche comprise entre les deux plans verticaux de traces AP et A, P< peut être assimilée

à un cylindre ayant pour base la section ^(y) et pour hauteur PPi = dy\ son A^olume est donc

Le volume V est alors la somme de ces tranches

/ 'Hy)^y-

300. Remarque. — Nous avons supposé, pour simplifier, qu'une parallèle PA à O'x coupe le contour de l'aire, à laquelle est étendue l'intégrale double, en deux points seulement. M, et Mo. Si la

iMg. 1(39.

urbe C a une forme plus compliquée, il peut arriver que la parallèle PA à Ox la coupe en un nombre quelconque de points nécessairement pair.

Mais alors on peut toujours, par des lignes transversales, décomposer Faire G en d'autres G,, Go, . . ., G„ limitées par des contours, qui sont rencontrés chacun en deux points seulement par des parallèles à i)x. On calculera les valeurs Ij, L, ..., ^n de l'intégrale double, pour chacune de ces aires partielles, et il ne restera plus qu'à faire la somme des résultats, I, -f- L-h. . .-)- !„.

Supposons, par exemple, que la courbe G ait la forme de la figure 169. Menons à cette courbe des tangentes P^Aq, P'A', P'A",

(IIAPlTRfc: \v.

P " A " , parallèles à ( \j^ : eMes parlagent FaiLre l'ii qîwal re parties I, 2, o, I, qui sont : i , la partie EAo B p ^>, kfc partie FIIK; x, la partie KEBL; 4, la partie FKLM.

Le eontour de chacune de ces parties n'est rencontré (pi'en deux points par les parallièW-s à Ox. (Oa calculeira les \aleiirs li^-L, 1;$, 1-, de l'intégrale double étendue successivement à ces (pialre parties» L'intégrale étendue à l'aire entière sera