III. — CALCUL D'UNE INTEGRALE DOUBLE EN COORDONNÉES POLAIRES

301. Méthode. — Appelons /• et 0 le rayon vecteui- OM el l'angle

polaire .rOM d'un [)oint M du plan des X}'. Pour évaluer, en coordonnées polaires. FintéiiTale double

étendnp 1 une aire plane du plan desxy^ liniilée ])ar une courbe C.

Fig. 170. Fig. 171.

on décompose cette aire en éiéinents supeL'liciels in(ininu;nt pelils c/co par les deux familles de courbes i/fg'' 170)

/■ =; const., 8 = cunst.

Les courbes r = c(i)nsr. s<.)nt d*es cercles de (ciilrc (): les courbes B = const. sont des droites issues de roirigine. lu élément super-

ilciel iUù ainsi ol)tenu est un rectangle curviligne ABCD {fig. 171) limité par deux droites OAB et ODC, faisant entre elles l'angle infiniment petit <i9, et par deux arcs de cercle BC et AD, ayant pour centre O et pour rayons respectifs r -\- clr et /*. Cet élément infiniment petit peut être assimilé à un rectangle ABCIJ, dont les côtés sont AB = dr et AD =1 r d^; sa surface est donc

doi = r dd dr.

Comme, d'ailleurs.

X = r cos G , y = /■ slnO, rintégrale double s'écrit

Jffi^, y) d^'> = f ff{r cosfi, rsin())rdOdr, expression de la forme

f{r,Q)rdbdf\

cp(7*, 8) désignant une fonction de /* et 8.

Remarque. — ■ En écrivant que l'aire ABCD est égale à AB.AD on néglige des infiniment petits d'ordre supérieur, qui n'ont pas d'influence sur la valeur de la somme. Si l'on veut présenter le raisonnement rigoureusement, on remarquera que, en désignant par Af) Fangie AOD et par A/' le côté AB, on a

aire ABCD == Aw = 1 [(,>+- A/)^— /'-']Ae,

car Faire Aoj est la différence des deux secteurs OBC^ et OAD. En réduisant,

Ato= (/•Ar-+- -Ar2 j aO.

L'intégrale

f fz(r,B}do}

est alors la limite de la somme

Cette limite est la même que celle de la somme plus simple

X(f(/', e)/-ArAO,

carie rapport des deux termes correspondants de ces deux sommes

/■ Ar

Ar2

I Ar

tend vers i, quand A/- et AQ tendent vers zéro. Le volume est donc donné par la limite de la somme

2ç(r,0)rArA0,

ce qu'on exprime en disant qu'il est donné par l'intégrale double

f f^{r,%)rdrd{).

Calcul de l intégrale. — Pour calculer, effectivement, l'intégrale, c'est-à-dire pour faire la somme des cylindres élémentaires '^(7-, B)r<r/8 <i/', relatifs à toutes les aires élémentaires t/co dans

Fiî?. 1-2.

lesquelles on a décomposé l'aire limitée par la courbe G, faisons d'abord la somme des cylindres compris, entre deux rayons OV etOP', faisant avec Ox' ,les angles polaires :rOP= 9, a;OP=9-f-<:/0, où d^ est infiniment petit positif {fig- 172).

Nous obtiendrons ainsi une tranche T du volume, tranche comprise entre les deux plans ^OP et zOV. Cette tranche est une somme de termes de la forme

dans laquelle <:/6 est le même pour tous les termes ainsi que 6. On

peut donc écrire

T = rfO 2 ç ( /•, 6 ) /• dr,

r seul variant d'un terme au suivant.

Supposons l'origine O extérieure à la base G ou située sur la €ourbe limite G. Si l'on appelle M, et M2 les points où le rajonOP €oupe la courbe limite G, /•, et r-, les rayons vecteurs OM, et OM2 de ces deux points, il faudra, dans la somme

faire varier r de /', à r-, : cette somme S est alors une intégrale simple prise, par rapport à ;•, de r, à ro, et l'on a

T = dQ f o(r,%)rdr.

Les limites /-, et /'o sont des fonctions de G, définies par la forme de la courbe limite. L'intécrale

ç(/-, (i)rdr

€St donc une fonction '}(B) et l'on a finalement

Après avoir évalué ainsi la tranche T, il faut faire la somme de toutes les tranches analogues, obtenues en faisant \arier 0. Si l'on mène, de l'origine, les tangentes à la courbe G, OAq et OA', faisant avec 0.x des angles % et 0', il faudra faire varier Q de % à 8'. La somme des tranches T, c'est-à-dire le volume V, est alors

Le volume s'obtient donc par deux quadratures successives.

En remplaçant '\>(J^) par sa valeur

(r, %)rdr,

on peut écrire

(/■, ^)rdr

où il faut eomniencer par calculer l'intégrale de droite : cette intégrale étant calculée, on la multiplie par cfj et Ton intègre par rapport à B, de 80 à G'.

Quand on opère ainsi, on dit qu'on intègre d'abord par rapport à /', puis par rapport à Q.

302. Exemple. — Soit une sphère, dont le centre est à l'origine et dont le rayon a une longueur a. La ligure 1-0 représente le huitième de cette sphère. Dans le plan des :r/, sur le rayon OA (dirigé suivant Ojt) comme diamètre, décrivons un demi-cercle (J.

Fiff. 1-3.

Nous allons calculer le volume du cylindre qui a pour l)ase ce demi-cercle et qui est limité supérieurement par la sphère. L'équation de la surface étant

on a

INTÉtRALKS DOUBLES ET TBIPLKS. — APPLICATIONS. 49 ^

et, en eoorclonnces polaires dans le plan des xy.

z == \J a- — ;•- , Le \oliime V est alors

\^ f fzdo)-^ I f )/a-^- r'rdrdO,

rinté^rale étant étendue à Taire du deini-eerele de base. Soienl or* et Ol*' deux ravons infiniment voisins faisant, avee O.r. les angles 9 et 8-f-c/O. Iai Iranehe T du solide, comprise entre les plans zOP ci zOV\ esl

T = d^ f ' \/a'—r'-rdr,

/'i et r-2 étant les ravons Neeleurs des deux points ^I , el AL où 01^ reneonh-e la demi-circont'érence limite. Le point M, est évidemment en (), /■, == o. Quant au rayon vecteur /'2 = OMo, le triangle rectangle AOMj donne immédiatement

To = a cosB

( écpiation polaire de la demi-circonférence de base). On a donc

rt co s 0

^/e / ^a-'— r^/dr.

L intégrale indéfinie étant

l'intégrale définie est

Don»

^ia'-r')^,

- a^ siii^O -f- - «3.

T= ^a^(i-~s\ni())dO.

Le volume est la somme des IrancliesT : pour les obtenir toutes il faut faire tourner le rayon OP de Ox jusqu'à Oj', c'est-à-dire faire varier 0 dv o à -• Donc

En écrivant

sin3 0 = (i — cos-0) sinG,

on voit que l'intégrale indéfinie est