h cos 0 — - cos30 et rinlégrale définie
Donc, enfin,
La ditlerence entre le huitième de la sphère, (iguré dans la figure 1-3, et ce volume est
V = ^ aK
303. Remarque. - Si un rayon vecteur, issu de O, coupait la courbe C en plus de deux points, il la couperait en un nombre pair de points : il entrerait dans G en M,, sortirait en Mo, rentrerait en M3, ressortirait en M.,, .... 11 faudrait alors intégrer par rapport à /• de /•, à /'o, puis de r-^ à /', , ....
304. Modifications à apporter au calcul précédent, quand l'origine est dans le champ d'intégration. — Nous axons supposé O en dehors de la base G; quand O est dans la base, il faut modifier évidemment les valeurs des limites des deux intéiirations. Tout d'abord {jig'. iji), pour avoir une tranche du volume comprise entre deux rayons vecteurs OP et OP', faisant entre eux Tangle dH^ il faut faire la somme des cylindres cp(;\ 9)/- c/B <://•, en faisant varier /• de o (point O) jusqu'à /'o (point Mo où OP sort de
ire G
f o{r,^)rdr
Dans cette intégrale, /'o est une fonction de 0 donnée par l'équation de la courbe G. On trouve donc, en supposant l'intégration faite.
Il faut ensuite faire la somme de toutes les tranches analogues. Il est évident que, pour les obtenir toutes, il faut maintenant faire varier 8 de o à 3 tu. On a donc finalement
\= 6((i)db= / dO o(r,0)rdr,
Fig. 174.
où il faut calculer d'abord Y intégrale de droite^ prise par rapport à /•.
305. Autre façon de calculer une intégrale double en coordonnées polaires. — \n lieu de commencer par faire la somme des éléments compris entre deux rayons faisant entre eux un angle infiniment petit d^^ on peut commencer par faire la somme des éléments de l'intégrale compris entre deux cercles de centre O et de rayons r et r-\-di\ Supposons, pour fixer les idées, O extérieur à la base ou situé sur la courbe limite. Considérons {fig- 173) un cercle de rayon r, coupant la courbe limite G aux deux points M| et M2, et appelons 0, et 8, les angles polaires correspondants .rOM, et .^OMo. Considérons ensuite le cercle infiniment voisin de rayon r-\-dr. Ces deux cercles découpent, dans la courbe de base, une tranche ayant la forme d'une couronne; nous allons calculer d'abord la somme des éléments de l'intégrale
ç(r,(})r dO dr, situés dans cette tranche. Il faudra faire une somme de termes
tels que
T = :ùz(r,f})rcmdr
mais, pour tous ces termes, ;• et dr ont la même valeur, el Ton peut écrire la somme ï
T = rdr'^o(r,r)M;
l'angle polaire 0 varie seul d'un élément à l'autre de la tranche T, el il varie de 0< à O^. On a donc
V=rdr 9(,-,
Les ani>les limites 0. el 0.. sont des fonctions du ravon /• du
cercle MjM^; rintéi<r;il(;
est donc une l'onction de /•, '}(/'), et l'on a
T = rdr^(r).
On a ainsi la partie T de la somme correspondant à la coui-onne considérée; il faut ensuite faire la somme de toutes les cour(jnnes ainsi oljtenues, en faisant \arier /• de façon à balayer toute l'aire de la courbe G. Si l'on fait décroître /•, on voit (pie la plus petite valeur de /• est le rayon /q d'un (;ercle langent, en A, à la courbe du coté de O; si, au contraire, on fait croître /', on voit que la
plus grande valeur de /' est le rayon /• d'un eercle tangent en A' à la courbe du coté opposé à O. On aura donc toutes les tranches auxiliaires telles que T. en faisant varier /• de /•„ à /'. et la somme de toutes ces tranches sera
En remplaçant '}(/') par sa valeur, on peut écrire aussi V= r rdr Ç '9(7-, 6)^6,
où il faut commencer par calculer l'intégrale de droite.
Quand on opère ainsi, on dit qu'on intègre d'abord par rapport à 0, puis par rapport à /'.
Nous avons supposé le pôle O hors de la courbe C ou sur la courbe. S'il était dans l'intérieur, il j aurait deux sortes de couronnes suivant les valeurs attribuées à y :
i"" Pour /' pris au-dessous d'une certaine limite i\^ on aurait des couronnes fermées situées tout entières dans Taire. Pour évaluer la tranche correspondante T, il faudra intégrer par rapport
à fj de o à 2 71 :
on fera ensuite la somme des tranches annulaires T de cette première sorte, en faisant varier /■ de o à ;*o,
r dr o ( r, 6 ) dr.
a"" Si l'on prend ensuite /■ plus grand que /•„, on obtient des cercles coupant la courbe en deux points M, et Mo, et la partie correspondante du volume s'évalue comme dans le cas de la figure 1-5.
