IV. - AIRE D'UNE SURFACE COURBE

306. Aire d'une surface courbe. — 1^'évaluation de l'aire d'une portion quelconque d'une surface courbe conduit au calcul d'une intégrale double étendue à une aire plane. Considérons une portion de surface courbe, limitée par un contour abcd : pour évaluer l'aire de cette surface, inscrivons dans la surface une surface poljédrale à facettes planes {fig'- i;^))- I^'aire de la surface courbe

est la limite vers laquelle tend la surface du polvèdre inscrit quand, le nombre des faces augmentant indéfiniment, chacune d'elles tend vers zéro en se réduisant à un point M, de telle façon que son plan tende vers le plan tangent en M, à la surface courbe.

Soit At l'aire d'une des facettes du polvèdre, l'aire S de la surface courbe est

le signe i' indiquant qu'il faut faire la somme de toutes les facettes du polyèdre. On écrit, pour abréger.

da^ désignant une facette infiniment petite.

Si l'on projette la surface courbe sur le plan des xy, le contour abcd se projette suivant une courbe C. Nous supposerons,

pour simplifier, que la surface courbe se projette tout entière dans rintérieur de C et que toute parallèle à O^, ayant son pied à l'inlérieur de C, coupe la surface courbe en un seul point. Si ces (conditions n'étaient pas remplies, on pourrait toujours découper la surface courbe, en morceaux remplissant séparément ces conditions.

Les faces du polyèdre inscrit se projettent suivant des éléments d'aire du contour fermé C. La face Ag-, par exemple, se projette sur le plan des xy suivant une aire plane Aco, et l'on a

Aco

Aw = At ces a. Aa- == >

cosa

a désignant Tangle aigu du plan de la face Ao- avec le plan des xj-, on a alors

S = IimVA. = limy-^.

^md cosa

Quand la face Ao- se réduit à un point M de la surface courbe et que le plan de Ao- tend vers le plan tangent en M, a tend vers rangie que fait le plan tangent en M avec le plan des xy, c'està-dire l'angle aigu N, z- que fait la normale en M à la surface avec Taxe O:;. On en conclut que Ton a aussi

cos(^, z)

la somme étant étendue à tous les éléments superficiels de la courbe plane C. En effet, dans ces deux sommes,

Aoj %n A(o

cosa jimà cos(lN, z )

cosa

le rapport des termes correspondants est — — — ; il tend vers i.

^ ^ ^ cos(]\, z )

quand les éléments Aco tendent vers zéro, en se réduisant à des points, car a tend \ers (N, z). On a donc