I. En effet, dans les deux premières, faisons ax -{- b = t
t — b , dt
X = > dx = — )
elles deviennent :
/ t'^dt = h C = - ^^ r- G (/i^ — J);
i r dt I - . 1 , ^ , / X
- / — = -h\t = - Lliax ^ b).
II. Pour évaluer la troisième intégrale, écrivons, en décomposant le trinôme ax- -\- bx -^ c en carrés :
r dx ^ r <a?a-
J ax'^-\- bx -\- c al b c
,y CL CL
dx
b Y b- — !^ac
Trois cas sont à distinguer suivant que h- — 4ac est négatif, positif ou nul. Dans les trois cas, on prend comme nouvelle variable :
X H = ^, dx — dt.
r* Si b- — /[Cic est négatif, on peut poser
4 ac — b^ j ^ /4 ac — b'^
= —y arc tangy -h G.
ak ^ /c
u il reste a remplacer / par x -i .
^ ^ -la
2^ Si b- — /\ac est positif, posons b~ — 4ac
\ h CL'' '
4 a- Finlégrale peut s'écrire
r dx \ r dx I r ^^
J ax^'-^bx-^c ~ a I 1 b \2 ~ ~ â/ t'^—k'^
iak t -\- k iak b
Dans ce cas, les racines du trinôme ax- -\- bx-\-c sont réelles
APPKLI.. — ST. 4
5o CHAPITRE III.
si on les appelle x et x\ on voit qu'elles sont égales à
- — ^k et — — -Aia la
on peut donc écrire alors
r doc
J ax--\-b
dx I ^ . X — x'
LÀ
3° Enfin, si h- — /{ne est nul, on a
dx \ (^ dx I
x^-\-hx-\-c a \ I h \' l b \
ia \ ICI I
W\. Passons maintenant à l'intéarale
dx
Deux cas sont à distinguer suivant le signe de a.
Supposons d'abord a positif. Nous mettrons, devant le radical, \/a en facteur et nous décomposerons encore le trinôme en carrés; il vient ainsi l'intégrale
I r dx
■la / 4
En posant x -\ = t, elle devient
1 r dt
\/aj ^wn*
où / désigne la constante — — — ^ — . Donc on a dans ce cas, «>> o :
= — =• L X Lr -I ! ;= v^rt x'--h bx -i- c ,
Soit enfin a négatif. Nous mettrons alors y/ — a en facteur et
FONCTIONS PRIMITIVES. — INTÉGRALES INDÉFINIES. 5l
nous écrirons
'•jv-
dx
^^ -la) ^ 4«^-
La quantité b- — 4 «c est nécessairement positive, car, si elle était négative, la quantité sous le radical serait négative quel que soit X et l'intégrale serait imaginaire.
Nous pouvons alors poser x -\ = ^ :
/b^-Jac,
L'intégrale peut s'écrire
\ r dt I . t
■ I - = ' arc sin j
\/—aJ ^k-'—V^ sj—a 1^
Donc, dans ce cas, « << o, on a
/dx 1 . ia ,^ ——=z====L — ^__ ai^c sin 7 h C
bx -4- c \J — a
