VI. - INTEGRALES TRIPLES

314. Définition. — Considérons une surface fermée S et une fonction cp ( x^ y^ z) ayant une valeur déterminée, en chaque point

du volume \ limité par cette surface. Divisons le volume intérieur en éléments de volume infiniment petits, «ic, tendant vers zéro en

se réduisant à des j)oints ( //«•. ^'S). fmaj^iiions qu'on imilliplle cliaf[ii<' ('Irincnl de xoliime ch' j)ar la valeur de la fonetion

<ni point auquel se réduil eel élément et (|u"<.)n fasse la somme des produits ainsi obtenus, on aura unv somnî(! qu'on désigne par

/ / I ri^^y^ -)^^^%

et qui est le type des intégrales triples.

On dit qne l'intégrale triple est étendue au volnme V limité par la surface S.

L'expression de r/i' est «liflcrcnte, suivant le svslèm<' de eoor- <lonnées qu'on emploie, poirr d(''composer le soliinie en (déments jnliniuient [)elils.

IMd. Coordonnées rectangulaires. — Décomposons 1(; \olume en parallélépipèdes inliniment jjcnits, par des plans parallèles aux trois plans coordonnés, infiniment rapprochés les uns des auli-es. Ln de ces parallélépi])édes a pour dimensions, parallèles au\ axes, <les longueurs infiniment peliles dx, dy et dz. Son volume (U-

<;st donc

(Iv = dx dy dz^

ot l'intégrale triple d(;vi<!nt

I = f f fr(-r^ y, ^) ^-^ '{y dz.

Pour (^alculer efï'ectiNenn.'nt celte intégrale, il faudra faire trois intégrations successives, j^ar raj)poi't aux \ariables x^ y et g. \ oicM de quelle façon :

Il s'agit de faire la somme des élénn^nts

o{ X., y, z) dx dy dz

pour tous les pai'a!l(''l(''pi|)éd( s é!('*mentaires, dans l(;s(piels on décompose le Nohimc \ considérf'.

Soit C le eonlour aj)parent de la surfa(;e S sur le plan des xy. Dans ce; contour apj^arent, pi'enons un rectangle élémentaire dont un sommet A a pour coordonnr'cs x^ )', les lr<us aulr s ayant pour