APPLICATIONS

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coordonnées X -}- djc, y ; x^ y-\-d}-; x -\- dx, y -^ dy (Jig. 179). L'aire de ce rectangle e?,ldxdy', considérons le prisme, ayant, ce rectangle pour base et ses arêtes parallèles à Oc. L'arête AA' de ce prisme entre dans le volume V par un point M, de cote 3,, et en sort par un point Mo, de cote Go.

Nous commencerons par faire la somme des éléments

o{x^ y, z) dx dy dz

pour tous les parallélépipèdes élémentaires dxdydz situés dans ce prisme. Ces j)arallélépipèdes forment une pile de parallélépi-

pèdes superposés : ils ont tous même base dxdy\ ce qui varie, d'un de ces parallélépipèdes à Tautre, c'est la cote c et la valeur de dz^ mais x^ y dx^ dy restent constants. La soinme P des éléments

ç(.r, j', z) dx dy dz,

:>!>. CHAPlTriK XV.

correspondant à cette pile de parallélépipèdes, s'oljlienl Vlonc en laissante, V, dx, dy constants et faisant varier 3 de 3, à Cj. On a

ainsi

V — dx dfI.o{x, y, z ) dz.

Cette somme est une intégrale délinie prise par rapport à 3 de Zi à z-2 :

I> = dx dy I o(.r, j', z) dz.

La quantité soumise au signe / dépend de x et v. D'autre part,

les limites Zi et Z2 sont évidemment des fonctions de x cly^ définies par l'équation de la surface qui limite le volume considéré. Donc l'intégrale

/ ^(^^y,^)dz

est, tout calcul fait, une fonction de x el y, soit f(x,y) cette fonction :

fi^,y)=J^ ?(-^, r, :^)dz.

La somme, relati\e à la pile de parallélé])ipédes considérée, est

donc

V = dxdyf(x, y).

Il reste mainleuEinl à faire la somme de toutes ces piles en donnant à la base A, d'aire dxdy, toutes les positions possibles dans l'intérieur de la courbe de conlour apparent C. Or, cette dernière somme,

ZV--^J f/{x,y)dxdf,

est, d'après ce qui [)récède, une intégrale doubb^ étendue à l'aire plane C. L'intégrale I est donc alors ramenée à l'intégrale double

I = fj f{x,y)dx dy,

étendue à l'aire C, intégrale que l'on calculera [)ar les méthodes précédentes.

Remarque. — Dans celte faeoii de calculer l'intégrale I, nous avons d'abord intéi;ré par rapport à z en rani'eant les parallélépipèdes élémentaires dxdydz- par piles parallèles à O^. On pourrait, de môme, intéi^rer d'abord par rapport à x ow à )', en rani;eant les parallélépipèdes par piles parallèles à l'un des axes O^ ou O )'.

AiTKLL ^ — Eléments d'Analyse. — st.

IHAPITRE \VI,

FORMULES FONDAMENTALES DE L'ANALYSE VECTORIELLE IXTÉCiRALES DE VOLUMES, DE SURFACES ET DE LIGNES.

Nous établirons, dans ce Chapitre, qiK'lques formules d'un usage constant en Mécanique et en Physique mathématique.