I. — FORMULE D'OSTROGRADSKY OU DE GREEN
»)16. Formule. — Soit un champ de forces défini dans un(î région continue de l'espace. A chaque point (.r, i', z) de celte région correspond une force ou un vecteur F appliqvu'' au point. Les projections
de ce vecteur F sont supposées être, dans la région considérée, des fonctions uniformes et continues de :r, )% z, admettant des dérivées partielles du premier ordre.
Considérons, dans le champ de forces, un volume V, com])osé d'une ou de plusieurs junlies. limité par une surface S. Nous supposerons d'abord, pour simplifier, que la surface S est rencontrée en deux points au plus par une ])arallèle à Oz { /ig- 179)-
Appelons dv un élément du volume \ et d'y un élément de la surface S, placé en M, sur la surface. Désignons par a, ^3, y les cosinus directeurs de la normale MN à la surface menée vers l'extérieur.
Nous allons établir la formule aénérale
rjX ^Y dZ
FOIIMLLI'ZS FONDAi^ENTALES DE L ANALYSE VECTORIELLE. 5l5
L'intégrale triple du premier membre est étendue au volume ^ : on l'obtient en multipliant ehaque élément infinitésimal dv du
volume V par la valiMir de ( [- j dans cet élément, et
^ \dx dy ùz J
faisant la somme de tous ces produits. L'intégrale double est étendue à la surface S; on Tobtlenl en multipliant ehaque élément inllnitésimal di de la surface S par la valeur de (aX -f- [^^ + 7^) sur cet élément et faisant la somme de ces produits.
I\uir obtenir cette formule générale, nous établirons d'abord la formule
Pour cela, comme Z = 6(.r, i% ::), nous allons d'abord calculer, en coordonnées rectangulaires, Fintégrale triple
Eflectuons d'abord l'intégration par rapport à ::. Soit, dans le plan des xy^ d.v dy un élément de surface choisi à l'intérieur de la projection C du contour apparent D de la surface S sur le plan des ./')- {^fig- 179 )• Considérons le prisme ayant cet élément pour base, et dont les arêtes sont parallèles à O;; ce prisme entre dans le volume par le point Mi en découpant sur la surface un élément ^/t,, et sort du volume par le point M2 en découpant sur la surface un élément d'étendue d'j.^. Appelons a,, [i,, y, les cosinus directeurs de la normale extérieure M, N, en Mi ; a^,, 3^,, ^/o eeux de la normale extérieure M2N2 en Mo. Le rectangle dx dy du plan des xy est la projection horizontale de Jt, et de d^.^. Donc dx dy esl égal à di^ multiplié par le cosinus de Langle aigu que fait le [)ian de l'élément d^^ avec le plan des xy^ angle qui est égal à l'angle aigu de la normale indélinie à dn^ avec O0. Comme la normale extérieure M,N, fait avec Oc un angle obtus, y, est négatif, et le cosinus de l'angle aigu de la normale ind(''finie avec Or (^st — V, . Donc
( 3 ) dx dy = — Yi dii.
De même, comme l'angle de la normale extérieure IV].>N.> avec
5i6 CHAPITRE xvr.
O :: est aigu, Y2 est positif, et l'on a
( 4 ) dx dy = Y2 d-J-i.
Ceci posé, un élément de l'intégrale triple est
dz -^
Faisons la somme P de ces éléments pour tous les parallélépipèdes dx dy dz situés dans le prisme AMilVL; nous devons laisser .r, y^ dx, dy constants et sommer par rapport à z] ce qui donne
= dx dy I
â<h(x;y,z) ^^ dz
en appelant ;, et Cg les coordonnées j des points M, et M2. L'intégrale indéfinie est '^{x, r, z) et l'intégrale définie
^{x.y,z,)^^(x,y,z^), ou, en abrégeant,
Zo et Z, étant les valeurs c^e Z sur les éléments drij. et f/o-,. Donc
P =: dxdy{2.2 — Zi),
P = — Zi dx dy -^ Z2 dx dy.
Telle est la somme des éléments de l'intégrale triple, correspondant aux parallélépipèdes situés dans le prisme de base dx dy. Pour avoir l'intégrale triple I, il reste à faire la somme de toutes les expressions telles que P, en faisant coïncider successivement dxdy avec tous les éléments du plan des xy situés dans l'intérieur du contour apparent C. On a ainsi
T = / / ( — Zi dx dy -f- Z, dx dy)^
l'intégrale étant étendue à l'aire G. Mais, dans le premier terme, sous le signe d'intégration, remplaçons dxdy par sa valeur (3), — y, c?o-<, et, dans le second, remplaçons dx dy par sa valeur (/j) Vo d'7.2 ; il vient
I = f Tvi Z, ^cTi + Y2Z2 da..
FORMULES FONDAMENTALES DE l'aNALYSE VECTORIELLE. 617
Dans celte somme, rélément dn^ prend successivement toutes les positions possibles sur la partie de la surface située au-dessous du contour apparent 1), et ^/to toutes les positions sur la partie de la surface située au-dessus du contour apparent. On peut donc écrire enfin
la somme étant étendue à tous les éléments superficiels di.
La formule est donc démontrée.
Dans cette formule pajtielle, Taxe des j joue un rôle particulier. En faisant jouer le même rôle successivement aux axes Ox et O )% on établira de même les deux formules partielles
. /.as*-/.(-"-
ns:>-.fi:'^'-
La somme des trois formules partielles (2), (5) et (()) donne la formule générale (i).
Dans la démonstration de la formule (2) nous avons supposé cjue la surface S n'est rencontrée qu'en deux points par une parallèle à O z. La formule est encore exacte, comme on s'en assurera, si la surface est rencontrée en un nombre quelconque, forcément pair, de points par une parallèle à Oz.
La formule (i) est donc vraie pour une surface fermée S quelconque. ,
Premières applications. — Par exemple, si l'on fait
X==0, Yz=:0. Z--^\,
on a
-ir^
relation évidente, car elle exprime que la somme des valeurs algébriques des projections horizontales de tous les éléments superficiels di d'une surface fermée est nulle.
Si l'on fait
5l8 CHAPITRE XVI.
la formule devient
ffp-f.h
L'intégrale du premier membre, somme des éléments du volum* est évidemment le volume total Y : donc
ck
formule qui exprime un volume par une intégrale double étend m à la surface qui limite le volume.
On aui-ait de uième
