Interprétation géométrique. — La qiiantih

d\ dY dZ

dx ôy <Jz

s'appelle la divergence du vecteur F de projections \, ^ . Z ; on

la désii^ne par

div. F.

Soient, au point M de la surface S, le vecteur MF corresf)ondanl à ce point et F,/ sa projection sur la normale extérieure JMN; on a

car la projection de F sur MN est la somme des projections des trois composâmes X, \, Z. La formule s'écrit donc

Le produit Yj^ch s'appelle le Jlu.r élémentaire de la force F ou du vecteur F à travers l'élément «?a-, de l'intérieur vers l'extérieur, et la somme de tous ces ilux élémentaires

s'appelle le flux lolal de la force F ou du vecteur F à travers 1; surface S, de l'intérieur vers l'extérieur.

FORMULES FONDAMENTALES DE L ANALYSE VECTORIELLE. aiQ

IMH. Tourbillon du vecteur V. — On appelle tourbillon du vecteurV le nouveau vecteur o), ayant pour projections ç. v,, Ç :

ô^^ ôz 1 (d\ <)Z\

^ ' ^ '2 \ àZ â.T /

^ ~ 'i\ âx ây

Ce vecteur apparaît, comme nous allons le voir, dans divers ibc'orèmes.

319. Cas particulier où les forces du champ sont normales en leurs points d'application à une famille de surfaces. — Soit une famille de surfaces ayant pour équation

où C est une constante arbitraire. Par chaque point de l'espace où la fonction U existe, il passe une surface de la famille, car on peut loujours déterminer G de façon que la surface (8) passe par \\\\ point donné ./'o' Xqi -^0 • il ^^^^^ et il suffit, pour cela, que

Ceci posé, îi-ous supposons le champ de forces tel, que la force ( X, \ , /), appliquée au point M(.Z', r, z-) du cliamp,soit normale à celle des surfaces (<S) qui passe par ce point. Comme les cosinus directeurs de la normale à la surface

au point x^ j', :^ sont proportionnels aux dérivées partielles du premier mem])re

>n doit avoir

eu appelant A la valeur commune des raj^ports : cette quantité K est fonction de .Z", r, ^, puisque les deux termes des trois rapports sont fonctions de ,r, r, ^. On a donc, dans ce cas, pour les exprès-

d\} cm

ôx ' Oy

f/li c>LJ dx Oy

ol>

. au

. àV

~ '^ Ox '

sions àts forces du champ,

}. et U étant des fonctions de r, )', c. Réciproquement, si les forces d'un champ sont de cette forme, chacune d'elles est normale, en son point d'application, à celle des surfaces (8) cpii passe par ce point.

On peut également caractériser analjtiquement ce cas en disant c[ue l'expression

( lo ) ' {\ dx -^ \ dy -^- 7. dz )

est une différentielle totale exacte ; cette expression s'écrit, en effet,

dx -t- — - dv -\ dz = dV.

Ox Oy "" Oz

Po(ir qnr ce cas se présente, il fciut el il siijffit citizen cJiacjiœ point du cJunnp le lourbillon soif perpendicalaiic à la force du champ

(il) " ^X + r. Y-4-^Z = 0.

La condition est nécessaire. — En effet, nous devons exprimer que l'expression ( lo) est une diiîérentielle totale. On a donc

Oz Of

ce qu'on écrit en effectuant et multipliant par a-

^,ô\ ,^o\ . /OZ oY oy Oz \0y Oz

les deux autres conditions d'intéiriabililé donnent de même

Oz Ox \ Oz O.v

Y — X 1^ - ■ / '2X ^ \ Ox ' Oy ' \ Ox Oy )

Dans les seconds membres, les coefficients de A sont précisément

FORMULAS FONDAMENTALES DE L AiNALYSE VECTORIELLE. 0->.l

2;, 2Ti, 2Ç. Multiplions alors ces trois relations respectivement par X, Y. Z et ajoutons; les premiers membres ont une somme nulle : on a donc, puisque A est différent de zéro, la relation (11) à démontrer.

La condition (i 1) est suffisante. — On démontre que. si cette condition (11) est remplie, il existe une infinité de facteurs A tels que

~{\dx-\-Y dy-^ Zdz)

soit nne différentielle totale JU ; ce qui montre qu'elle est suffisante.. Le cadre de cet Ouvrage ne nous permet pas de donner cette démonstration.

rSous nous bornerons à voir comment se simplifie alors la formule générale d'Ostrogradsky (1). En substituant, dans celte formule, à la ])lace de X, \„ Z, les expressions (9), on voit qu'elle devient

<jy ôy

^ 'ôz~z

= / / / a —- + 3 — H- Y -— dG.

La quantité ^

^ Ox ' Oy ' oz

dç

est appelée ordinairement dérivée de U suivant la normale extérieure Cl la surface et désignée par — — • Voici la raison de cette dénomination. Menons la normale extérieure MjN\ de cosinus directeurs a, 3^ y (.Ai'- 180)5 prenons sur cette normale lîne longueur MN'= A//, et appelons r, )% ::, x\ r\ z' les coordonnées des points M et IS'. Quand on passe de M en IN', la fonction U subit un accroissement

AU Prenons le rapport

AU An

quand In tend vers zéro, ce rapport tend vers la quantité (10)

En effet, on a ponr les coordonnées de N'

Fig. 180.

yA^.

n développant par la série de Tajlor. On en conclu L

AU d\] ^d{] d\] . , ,

lu Ox ^ Oy ' dz