II. - FORMULE D AMPERE ET DE STOKES DANS LE PLAN
Les formules que nous allons maintenant établir transforment des intégrales de surfaces (intégrales doubles) en intégrales de lignes (intégrales simples).
Nous commencerons par la formule d'Ampère et de Stokes <'/<:/;?,s• /<^ plan.
*)^1. Formule d'Ampère et de Stokes dans île plan. — Soit un champ de forces plan constifué par des forces F situées dans une certaine région du plan xO ]\ telles que la force appliquée en un point ./■. )' de cette région ait pour projections
les fonctions y et '^ étant uniformes, finies, et admettant des dérivées paitielles du premier ordre dans la région considérée.
traçons, dans cette région, un contour fermé quelconque, limitant une aire S. La formule à établir est la suivante :
OÙ c/cr est un élément de l'aire S et où I Intégrale double esi étendue à cette aire, tandis que l'inlégrale simple, analogue à i\n liMvai]. est prise sur le contour C dans le sens positif.
Pour déuiontrer cette formule, remplaçons (h par Felément d'aire en coordonnées rectangulaires dx dy et calculons d"a])()rd l'intégrale dou])le
^*()iis su])p()scrons. pour simplifier, que le contour n'est rencontré qu'en deux points, au plus, par une parallèle à Or : on fera ensuite facilement disparaître cette restriction, comme nous l'avons fait déjà (n" 43) pour le calcul de l'aire d'une courbe fermée. Soient OP=z= )-, 01^' = j'-f- dy {Jîg- i^i)5 menons parles points
P et V des pî'.rallèles PII et P'H' à O.r. et appelons .r, et ./o les abscisses des points M, et Mo où PH coupe le contour G. Calculons la tranche T d'intégrale, comprise entre les deux droites inHuimen! voisines ]>I1 et P'H',
dx
L'intégrale indéfinie est \ et l'intégrale définie est \2 ^^ i. si l'on appelle Yo et Y, les valeurs cp (^o, .>') et o(./',, )) de \ , aux points Mo et M,. On a donc
(Y,-\\)dv
a et b désiirnant les ordonnées OA' et OB' des tangentes A A' el
FORMULES FONDAMENTALES DE LANALTSE VECTORIELLE.
BB' parallèles à Ox. En écrivant
on voil que
rintéi;rale étant prise sur le contour C^, dans le sens positif.
On démontre, de même, en intégrant d'abord, par rapport à r. la relation
(iG)
■fXP-X^
En ajoutant les formules (i5) et (i6), on obtient la formule générale (t4)-
Remarque 1. — Nous avons supposé, dans la démonstration, qu'une parallèle à O x telle que PH rencontre G seulement en deux
Fis. i8.>.
points : mais la formule est générale. Supposons, par exemple, que le contour ait la forme de la figure 182, de telle façon que certaines parallèles à Ox \e rencontrent en quatre points et d'autres en deux. On peut, par une transversale telle que JK, découper l'aire S en deux parties S, et So telles que le contour de chacune soit coupé en deux points par une parallèle à O^. On a alors, en appliquant la formule (i4) Ja chacune des aires S| et So :
526 ■ CHAPITRE XV t.
Les deux intégrales / ^'t / . qui portent sur le même élément
dllFérentiel et qui sont prises suivant la trans\ersale JR en sens opposés, sont opposées : en ajoiitanl membre à membre les deux formules précédentes, ces deux intégrales se détruisent et l'on obtient la formule (il) appliquée au nouNcau contour.
E.rciuple élrine lit aire. — Sn])p()S()ns la formule devient
/ L^^^^'il ^ ^^^ ~^ ^^'
OÙ le premier membre est évidemment l'aire totale limitée par le <'ontour C. On retrouve ainsi la formule élémentaire établie à la (in
licnntrque 11. — Dans la formule précédente, apparaît encore ecteur tourbillon du champ de forces consid(''ré. En effet, actuellement, le champ est plan, X et \ ne dépendent pas de c et Z = o. Donc le vecteur tourbillon (o, en un point du plan xO y^ a actuellement pour projections
ei la formule d'Ampère et de Stokes s'écrit dans ce cas
Remarque III. — La formule (i4) peut aussi être déduite de la formule de Green. En eU'et, considérons le contour simple L dans le plan xOy {fig- i83) et construisons le cylindre droit de hauteur infiniment petite z et de base S. Puis ap])liquons laformule de Green (i) au volume y de ce cylindre et aux fonctions
dans et sur ce cylindre. On a
FORMULES FONDAMENTALES DE L ANALYSE \ KCl ORIELLE.
!l désignant ici la surface totale du cylindre, drj un élément de cette
surface, a
les cosinus directeurs de la normale extéVicure.
Mais en appelant dx dy un élément de la base S du plan rO )-, on a dx = £ dx dy. L'intégrale triple du premier membre contient donc £ en facteur et s'écrit
Quant à l'intégrale dou1)le du second membre, elle se décomi
K)se
Fi":. i83.
en une somme de trois intégrales, étendue respectivement a la base Inférieure S, à la base supérieure S' et à la surface latérale A du cylindre :
^ X ) «fa.
Les deux premières sont /miles, car, sur les bases, les normales sont parallèles à O j, a et [i sont nuls. Sur la surface latérale A, un élément superficiel c/cr est déterminé par un élément d'arc ds du contour L, pris en un jx^int M, et par les deux génératrices infiniment petites £ partant des extrémités de ds] donc d/j = zds. Si l'on mène la normale extérieure MIN au cylindre et la tangente MT dans le sens positif du contour L, les cosinus directeurs de MN étant appelés a et ^3, ceux de MT sont — |3 et + a ; les projections d.r et dy de l'élément ds sont
s d.T = — (î ds, dy
ds.
et 1 on a
y^ r (aY - [ÏX) t/a == £ r {^^—[^Xjds = e f X dx -h Y dy.
Remplaçant, dans la formule (G), le premier et le second membre par les valeurs ainsi trouvées, et supprimant le facteur (Mjmmun z. on obtient la formule (i4). cas particulier de la formule d'Ampère et de Stokes.
32:2. Application à la théorie des différentielles totales. — INous ])Ouvons retrouver, à l'aide de la formule d'Ampère et de StoUes dans un plan, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une intéi:rale de la forme
^lA)
X dx -+- Y clf,
prise le long d'une courbe plane, du point A au poi*nt B. soit indépendante de la courbe suivie.
D'abord, pour qu'il en soit ainsi, il faut, el il suffi t que linlé- <:rale
(iG)
/ X <ia; + Y df,
piise le long (V un contoui' fermé quelconque G. dans le champ considéré, soit nulle.
En effet, soient {fig- i84) deux chemins différents AMB et APB
ayant les mêmes extrémités; la différence des deux intégrales. {)rises de A en B par les deux chemins, peut s'écrire
f \dx-^\dy— f X dx -t- Y dy
•A MB ^Al'B
= r ^ I = r xdx^Ydf,
* AM» «-^lU'A *^AMBPA
FORMULES FONDAMENTALES DE l'aNALVSE VECTORIELLE. 529
OÙ AMBPA est le contour fermé G formé par les deux chemins. Alors, si l'intégrale est indépendante du chemin, elle est nulle le long d'un contour quelconque G : en effet, sur ce contour G, on pourra toujours marquer deux points A et B; dans l'identité (17), le premier membre est nul par hypothèse; donc il en est de même du second, ce qu'il faut démontrer.
Réciproquement, si Fintégrale est nulle le long d'un contour fermé quelconque, elle est la même sur deux chemins différents AMB et APB : en effet, ces deux chemins forment un contour. AMBPA; par hypothèse l'intégrale du second membre de (17) est nulle, donc la différence formant le premier membre est nulle^ ce qu'il faut démontrer.
Revenant alors à notre problème, nous sommes ramenés à chercher la condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale (16) prise le long d'un contour fermé quelconque G soit nulle. En appliquant à cette intégrale la formule d'Ampère et de Stokes dans le plan, il faut chercher la condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale double
drs
étendue à une aire plane quelconque soit nulle. Mais il est éviden que cette condition est que l'élément placé sous le signe d'intégration double soit nul identiquement :
car s'il n'en était pas ainsi, on pourrait choisir l'aire S de telle
façon que -— ait un même signe aux divers points de S et
alors l'intégrale (18) ne serait pas nulle, comme formée d'éléments tous de même signe.
En résumé, pour que l'intégrale curviligne (i^)) soil indépendante du chemin, il faut et il suffit que l'on ait la condition (ig) qui exprime que ^ dx -\-\ dy est une différentielle totale. INous retrouvons ainsi, d'une façon plus rigoureuse, la condition trouvée précédemment (n^ 288).
53o CHAiTTUE XVI.
m. - FORMULiE D'AMPERE ET DE STOKES.
3^3. Formule. — Lh foriimle génôrale que nous allons indiquer a èié donnée parStokes : elle avnit df'jà été employée par Ampère en Eleclrouiagnétisme dans un cas parljiculier.
iraaginosms dans le champ de \^ecteurs ou de forces précédemment défini (n" 316) une portion de surface S. n^n fermée, ayant daux faces et limitée par un contour fernié i] ( fiii'. i85). Choisissons
arbitrairement une des deux faces de S et menons la normale PN à S du côté clioisi : concevons ensuite un mobile M parcourant le contour C dans un sens tel que, si Vini mène les normales telles que PN à la surface, voisines du contour, le mobile, en passant près de ces normales, tourne autour d'elles dans le sens positif (de gauche à droite pour un observateur debout sur la surface du côté choisi et regardant le mobile); ce sens de circulation est indiqué par une llèche sur la figure.
Cela posé, appelons cl- un élément superficiel de S, a, p, y les cosinus directeurs de la normale I*1N à cet élément; on a la formule
X dx
rV ff)7. f)\\ / ,i\ ,)7.\ /,)Y i)\\~\
\Y/y^ 'Adz
[ àL d\ \
OÙ l'intégrale du premier meinbre (analogue à un travail) est prise le long du contour (^ dans le sens indiqué et où celle du second membre esl étendue à l'aire de la surface S. (Les axes Ox, Oy^ Oz sont supposés orient(''s comme dans tout le cours de l'Ouvrage.)
FORMILES FONDA.VIENTALKS 1»T: l'aNALYSE VECTORIELLE. 33 1
