Démonstration. Dans lu fyramle générale (:?.o) qu'il

s'agit de démonlrer. les fondions X, Y, Z sont q-ii^konqiies^ sous les seules conditions de eontinuilé indiquées; supposons iilors

et Z ^ o

il s'agit de démontrer, pour une surface S de Tespace limitée pa un contour L {fif(. 186), la formule

\du

im--:f)'-

\ étant une fonction donnée de x^ y-. ^•

Fi 2:. 18G.

Nous ferons d'abord deux livpotlièses particulières qui disparaîtront ensuite.

Supposons : i" que la portion de surface S soit rencontrée en un seul point M par une parallèle MM , à O3; 2'^ que. en tous les points de S, le cosinus appelé v ait un signe constant, -f- par exemple.

Si nous projetons l'aire S sur le plan des xy en S,, à chaque point M de S correspondra sa projecti(jn M, intérieure à S,, et à cliaque point M de L sa projection M, du contour L, de Si- Les deux points M et^M, ont même x et même j-, mais la cote du point M, est nulle, et celle du [)oint M est donnée })ar Féqualion

z = f{oc, y)

de la surface S. La fonction X (:r. >', z-) a une certaine valeur X en M; convenons d'appeler X, ce que devient cette fonction X quand on j remplace ^ par sa valeur f(x, y). Alors Xi est une fonction de x et y seuls, dont la valeur en M, égale la valeur de X en M.

On a ensuite

ôy dy ùz

q désignant, comme il est d'usage, la dérivée partielle t- tirée de l'équation de la surface S.

La formule précédente (i4) relative au plan s'appliquera à la fonction X, dans l'aire plane S, limitée par L,, et l'on aura

-Ll'^"-'-I>

1 dx.

's, "^ ^Li

]Mais l'élément r/o- de S, a pour projection horizontale

dx dy = Y f/a,

puisque y est positif; quand M, parcourt L, dans le sens positif. M parcourt L dans le sens positif; on a

ôy ôy ôz ^ donc

D'après les formules élémentaires qui donnent les cosinus directeurs de la normale à une surface, on a

Donc ^y = — ,3 et la formule devient enfin

ce qui est la formule (21) à démontrer.

Remarque. — Nous avons supposé y>o sur S; si l'on avait

FORMULES FONDAMENTALES DE l'AXALYSE VECTORIELLE. 333

•^ <^ o, il faudrait prendre

dx dy =. — ^[ dz\

mais le sens positif sur L donnerait en projection le sens négatif sur L, ; il j aurait un double changement de signe et la formule subsisterait.

Cas général. — 11 est facile maintenant de faire disparaître les hypothèses restrictives que nous avons faites : quelle que soit la surface S, on peut la diviser par des courbes auxiliaires en parties telles que, sur chacune d'elles, y ait un signe constant et que chacune d'elles soit rencontrée en un point par une perpendiculaire au plan xOy. Supposons, pour fixer les idées, qu'il faille ainsi

diviser la surface S en quatre parties, S,, So, S3, S.,, {fig. 187) par les courbes ABD, CBE. La formule s'applique à chacune de ces parties :

ij'-^sm-^'-

Ajoutant ces formules membre à membre, et remarquant que, dans la somme des premiers membres, les intégrales telles que / ^dx

et / X.dœ, prises en sens contraires sur la même courbe, ont une