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somme nulle, on obtient la formule à démontrer.

Comme la valeur d'une intégrale de surface no dépend pas de la façon dont la surface a été divisée en éléments infiniment petits d'y, on pourra, en faisant un r.iisonnement analogue au précédent, établir les formules

Ajoutons ees foi-inulcs à la formule (21) nous ohlcuoiis la fornuile de Stakes, dans sa généralité, sous la fornu^ a démontrer.

Remarque. - (^ette formule comprend, comme cas particulier, la formule du n" 321 , qu'on retrou\e en réduisant la surface S à une portion du plan (\i\s xy'\ alors a = o, [i = o, ■^' = 1 , et Ton a

ce qui est bien la formule d'Ampère et àv Slokes pour le plan.

325. Interprétation géométrique de la formule de Stokes. - Dans la formule f 20), le premier membre

X dx -+- \ dy -H Z dz

représente le travail total Ce delà force ou (bi vecteur V (\n champ, quand le mobile J\F décrit le contour dans U\ sens indiqué : il a une signification indépendante du clioi\ des axes.

Le second membre a donc aussi une signification indépendanl(^ du choix des axes. En cfFet, le vecteur tourbillon (•) au point 1^ {/Ig- i8r)j a pour projections les quantités ç, r,, ^ définies au n** 318. Le second membre de la formule (ao ) est ch)nc

mais a;-|-?'^ + V^ *-'^^ ^'' ]>''<^>jf'f'''<>ii^ <•>//• <'" vecteur (o, sur la normale PN. On peut donc écrire la formule (20)

FORMULES FONDAMENTALKS DE l'aNaLYSE VECTORIELLE. 535

elle signifie que : le travail ^^^ de la force F appliquée à un mobile qui décrit le contour C est le double du flux du vecteur tourbillon à travers la surface S, dans le sens positif .

326. Application à la théorie des différentielles totales dans l'espace. — La feriaiule de Stokes permet de reLroiiver la condition nécessaire et suffisante pour qu'une intégrale curviligne, dans l'espace,

{■i.5) / \dx-\-\dy-\-7.dz,

prise du point A au point B'y le long dune cerlainc courhe, soil ind^penda-nte du clieutin.

Pour cela, on montre d'abord, comme au n** 32!ii, que, pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffît que V intégrale curvilign e

^(^ = r\dx^\ dy -^Z dz

prise sur un contour fermé quelconque soit nulle. On en conclut, par la formule de Stokes, qu'il faut et il suffit que le llux du tourbillon

à travers une portion de surface quelconque S, soit nul. Cette condition ne peut être remplie que si l'élément difterentiel est nul

w« = <) ou

('26) ai -4- ^-r; ^ y^ .=r (>.

Comme la surface est quelconque, les cosinus dij-ecteurs de la normale peuvent être pris arbitrairement : la condition (26), ayant li.eu qwels que soijent a, [^^ v, entraîm*

^■=0, rj = o, r= 0,

conditions qui signifient que

X d'x -\-Y dy ^ Z dz

est une difiérentielle totale.