DÉFINITION GÉNÉRALE D'UNE INTÉGRALE DÉFINIE

On peut réunir, sous le point de vue général suivant, tout ce que nous avons dit des intégrales simples et multiples, des intégrales prises le long d'une courbe, etc.

327. Démonstration générale. — Considérons une fonction de point/ (M), M étant un point d'un espace fini d).

L'espace considéré peut être d'une (ligne), de deux (^surface), de trois (volume) ou de plus de trois dimensions.

Divisons cet espace to en éléments de dimensions très petites

rfcoi, dtxii, diiiz^ ..., d<X)ji.

Quels que soient le nombre et la forme de ces éléments, on aura toujours

Prenons maintenant dans chaque élément é/to/ un point M/ et formons les produits

/(MO^/^i, /(Mo)^W2, ..., /(M,)«fco,.

Si la somme

S= V(M,)rir^,

tend vers une limite lorsque toutes les dimensions de tous les db^i décroissent indéfiniment et que leur nombre, par suite, croît indéfiniment, cette limite s'appellera « intégrale définie de la fonction y (M) répandue sur l'espace w )>.

Pour désigner cette intégrale on emploie le symbole suivant :

ff{M)d.K