DÉFINITION GENERALE DINE INTEGRALE DEFINIE

L'intégrale définie existe toujours si la fonction /(M) est finie et continue dans l'espace oj.

Ici il faut donner une définition spéciale d'une fonction continue. Considérons deux points

Mi et Ma.

La fonction /( M ) j prend les valeurs

/(M,) et /.M,.).

Nous disons que la fonction y (^ M) est continue si la différence

■ . . i/(Ma-)-/(:m,)i

tend vers zéro lorsque la distance

tend vers zéro.

Dans ces conditions, l'intégrale définie existe et sa valeur ne dépend pas du choix du point Mj dans l'intervalle dtOi.

Nous ne donnerons pas ici de démonstration analytique qui nous entraînerait un peu trop loin et nous nous contenterons d'une démonstration moins rigoureuse mais beaucoup plus intuitive.

Supposons que notre espace co soit rempli d'une matière de densité variable /(M) et proposons-nous de calculer la masse de cette matière. (]ette masse est é\idemment une quantité réelle et bien déterminée.

Supposons que la masse de chacun des éléments cImi soit dmi. La masse totale cherchée sera évidemment égale à

DTl

■■ ^ dnij.

Désignons par p^ la densité moyenne de l'élément dtoi :

nous avons

et, par conséquent,

drrii

drjii

dini-= ^idwi

n OTl = 2, Pi d^i-

Cette égalité aura lieu quels que soient l(\s éléni<nits <:/o), grands ou petits, et quelle que soit leur forme.

Si nous faisons décroître indéfiniment toutes les diiiK'UMons (l<'s éléments <ico/, ce que nous appellerons faire lendjc vers zéro r<l(ment é/w/, la valeur de notre somme ne change pas. Elle reste encore la même si nous passons à la limite, car la limite d'une constante est la constante elle-nu'iiie.

Nous pouvons donc écrire

DVl — lira 2: pidMi,

quand les doii tendent vers zéro.

Considérons maintenant dans chaque élément â?o)/ deux points M' et M" où la fonction y*( M/) prend k vttleur la plus granide et la plus petite qu'elle puisse prendre dans cet élément.

11 est évident que dans ce cas

et si nous prenons un point quelconque M/ dans l'élément do)/, nous aurons

En désignraiLt cetlie différence par Tj/,

nous pourrons écrire

[/( ^^i) diMi — p/ ckùi] < r^i cloj,: Enfin

12/(JM, ) dr.,— lp,dr,.,\< I^T^fdi^i.

Appelons Yi la plus grande des différences th et jappelons que

2 dui= 0),

Zp/dMi— D\L..

Nous aurons

\Zf{Mi)dco,-DK\<r,.r..

Mais (0 est une quantité finie et constante; quant à Tj. elle tend vers zéro lorsque les d(j)i tendent vers zéro, car la fonction /(M) est supposée continue dans w.

Par conséquent,

lira |2/(Mv)y^j/- DK | = o

DÉFINITION GKNÉRALK d'uNE INTÉGRALE DÉFINIE. 539

et enfin

lim ^f(Mi)dro,= D\L,

([uelle que soil la forme des éléments doj/ et quel que soit le point M^ehoisi clans dM,.

C/esl vc que nous avons nouIii démontrer.

Si la fonetion^ (M) désigne non pas bi densi:té^ mais n'importe (piclle autre eliose, la valeur de la somme n'(!ii est pas moins un nomV)re bien déterminé; on [hmiI toujours regarder /'(M ) comme désignant une densité.

,'^28. Exemples. — L'es[);HUj (.) peiitètre représenté, eouime nous 1 avons dit, soit par une portion de eourbe, soit par une surface, soit par un volume. Les i-ntégrales obtiennes s'appelleront alors « intégrales curvilignes, intégrales de surfae<' ou (b' \olume ».

Si la courbe se réduit à une portion de bave O^, l'intégrale de\ ient l'intégrale définie ordinaire que nous axons déjà étudiée.

Si la surface se réduit à une portion du plan des xy^ nous aurons une intégrale double ordinaire que nous avons étudiée dans le n^^iOi.

Pour bifre des calculs effectifs nous devons, dans cba(pie cas particulier, choisir d'abord les paramètres qui nous détermineront la position du point dans Fespace o). — {(In paramètre si m est une ligne, d'eux si w est une; surbice et trois si to est un volume.)

Fnsuite nous devons choisir la forme eorres|)Oiidante de cfco et former la somme.

Xous avons \u comment on fait ces cafculs dans chaque cas partit^dier (jiii peut se présenter.