I. - GÉNÉRALITÉS SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES

329. Ordre d'une équation différentielle. — Soit j' une fonction inconnue de x : supposons qu'on donne une relation entre x^ y et les dérivées de j^ par rapport à x jusqu'à un certain ordre /?.

dy d'^y d"y

OU, avec la notation des dérivées, F(^, y^ y' ^ y\ . • -, JK^"0 "^ ^•

Une relation de ce genre s'appelle une équation différentielle d^ ordre n.

Intégrer l'équation, c'est trouver 'toutes les fonctions )- de la variable x qui vérifient l'équation. Quand on a trouvé une fonction y vérifiant l'équation, on dit qu'on a trouvé une fonction intégrale ou, sous forme abrégée, une intégrale.

Au point de vue géométrique, on peut regarder x al y comme les coordonnées cartésiennes d'un point d'un plan. Intégrer l'équation, c'est alors trouver toutes les courbes, dont l'ordonnée >', regardée comme fonction de x^ vérifie l'équation différentielle donnée. Quand on a trouvé une courbe dont l'ordonnée vérifie l'équation, on dit qu'on a trouvé une courbe intégrale.

Exemples. -— La géométrie fournit de nombreux exemples d'équations différentielles.

Par exemple, pour déterminer une courbe définie par une propriété de sa tangente ou de sa normale, comme une courbe ayant une normale constante ou une sous-normale constante, ou une tangente constante, ou une sous-tangente constante (n"* 146-147),

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIEIl OUDRE. 54 1

on est conduit à intégrer une équation différentielle du premier ordre. Dans chacun de ces derniers problèmes on trouve que les courbes, répondant à la question, contiennent, dans leur équation générale, une constante arbitraire. Ainsi, les courbes ajant une normale de longueur constante donnée, a. sont définies par Féquation différentielle

qui est du premier ordre. En l'intégrant, on trouve, pour équation générale des courbes demandées, la suivante :

contenant une constante arbitraire Xq. Ces courbes sont, comme on pouvait le prévoir géométriquement, des cercles, de rajon donné a, dont le centre est un point quelconque de Ox.

On a à intégrer des équations de deuxième ordre^ quand on cherche les courbes planes définies par une propriété du rayon de courbure, par exemple les courbes pour lesquelles le rayon de courbure est proportionnel à la normale

On trouve, en intégrant ces équations, des courbes dans l'équation desquelles figurent deux constantes arbitraires. Par exemple, si Ton prend A=zLi, en cherchant les courbes dans lesquelles le rayon de courbure est égal à la normale, on est conduit à intégrer l'une des équations différentielles du deuxième ordre

En prenant le signe -h, on trouve la chaînette

où a et [3 sont deux constantes quelconques, et, en prenant le signe — , les cercles

où a et ,3 sont deux constantes quelconques.

5/ii CIIAI'fTRH: XVllI.

3t^. Intégrale g-énérale d'une équation différentielle. — Le fait, o'bsers'é dans l^s exemples que nous \ enons de rappeler, (;sl «général. Etant donnée une équalion dUiérenlielle d'ordre /?, iJ existe une fau^ille de <'<nirb€s, dont réquatlon contient n -constantes wvU\traia'es

(3) ■{'(■3-, r, Cl, C2, ..., (1,0 ^o,

et qui sont telles que leur ordonnée )', considérée comme fonction de l'abscisse, vériii^ l'équation différentielle, quelles que soient. les n constantes arbitraires. Celte équation (^3) est ce qu'on appelle V intégrale générale de l'équation différentielle. On p(;ul, iliéoiiquement, la supposer résolue ])ar rapport à y et l'écrire

y = ^{x. Cl, Co, .. . , C,i).

Ainsi, dans les exemples que nous venons de rappeler, rinléi;i'ale i^énérale de Jéqiialionclu ])remier ordre

y \J \ — y- = a est

avec une constante arbitraire x^.

L'intégrale générale de l'équation du deuxième ordre

es!

avec deux constantes arl)itraires a et [i».

Nous allons maintenant nous occuper en détad des équations du premier ordre.

On appelle intégrales particulières, les solutions dans lesquelles certaines constantes arbitraires possèdent des valeurs numériques l^articulières.

Il peut exister des solutions qui ne sont \)ix^ particulières : on les. appelle singulières.

EQl AXIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 34J

II. - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE D'UNE FAMILLE DE COURBES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE. INTÉGRALE GÉNÉRALE D'UNE ÉQUATION BU PREMIER ORDRE

331. Équation différentielle du premier ordre. — Une équation dilTérentielle du premier ordre est de la forme

Nous re<;arderons x et y comme les. coordonnées cartésiennes d'un point d'un plan.

Nous allons démontrer les deux théorèmes suivants :

i" Etnnt donnée dans le pian des xy une famiUe de courbes

dont t équation contient une constante arbitraire C, ^ ordonnée dune quelconque de ces courbes^ considérée comme fonction de l'abscisse^ vérifie une équation différentielle du premier ordre, indépendante de C.

Cette équation ditîerentielle est ce qu'on appelle X équation différentielle des courbes (2). Sa formation n'exige que des dérivations et des éliminations.

2 ^ Réc ip roque ni ent^ étant don n ée u n e éq u a t io n diffère n t ielle

du premier ordre

il existe toujours une famille de courbes planes

dépendant d' une constante arbitraire C, telle que l'ordonnée d^une de ces courbes^ considérée comme fonction de l'abscisse^ vérifie l'équation différentielle, quelle que soit C. L'équation de ces courbes

544 CHAPITRE XVllI.

donne ce qu'on appelle \ intégrale générale de Téquation différentielle. La formation de cette équation 'h = o constitue Y intégration de l'équation.

Les courbes obtenues, en donnant à C des valeurs numériques particulières, sont des courbes intégrales particulières.

Mais il peut exister des solutions y = cd (^x) d'une équation du premier ordre qui ne sont pas des intégrales particulières : ces solutions spéciales s'appellent singulières.

33!2. Équation différentielle d'une famille de courbes planes dépendant d'une constante arbitraire. — Soit

(2) 'hix, y, C) :^ o

l'équation d'une famille de courbes, où G désigne une constante arbitraire. Quand G varie, ces courbes se déplacent et recouvrent une certaine région du plan. Par un point M, pris dans cette région, passent une ou plusieurs des courbes, car, si l'on assujettit la courbe (2) à passer par un point donné, on a une équation déterminant G et donnant pour G une, deux, ..., jw valeurs, suivant qu'elle est, par rapporta G, du premier, deuxième, . . .,/f^'"^ degré. Gherchons le coefficient angulaire de la tangente à une des courbes passant par le point M (.r, y). Ge coefficient angulaire est défini par l'équation

(Jcr ()y dx

obtenue en dérivant (2) par rapport à J7 et regardant )- comme fonction de x. Si, entre les équations (2) et (3), on élimine G, on obtient une équation

définissant -j- en fonction de x et )-. G'est là l'équation diff'érenlielle des courbes (2).

On peut interpréter cette équation en disant qu'elle détermine

le coefficient ang^ulaire -f- de la tan«;ente à celles des courbes (2), ^ dr ^ ^ '

passant par le point M de coordonnées x et )-. Gette équation (4) peut être d'un degré quelconque en -7^. Elle donne alors plusieurs

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

valeurs p(jLir -^ quand r et )" sont donnés : cela veut dire que,

par le point donné M (.r, r), passent plusieurs courbes de la famille considérée, et l'équation fournit les coefficients angulaires des tangentes à ces diveises courbes, au point M.

E.veniple I. — Considérons l'équation

(5) y^--iCx^o v

(pii représente des paraboles, avant pour axe 0,/' et pour tangente au sommet Or {fig- 188). Par un point quelconque M[x,y) du

Fi il. 18H.

plan, il passe une de ces paraboles, car on, peut toujours déterminer C de façon que l'équation (5) soit satisfaite par les coordonnées d'un point (pielconque. En dilïérentiant l'équation (5), on a la relation

définissant le coefficient angulaire -j- de la tangente à l'une des

*■ ^ dx ^

paraboles au point (./•,)). L'élimination de C. entre les équations (5) et (()) donne l'équation difierentielle des paraboles considérées

Cette dernière équation peut être regardée comme donnant directement le coefficient angulaire de la tîingente à celle des paraboles qui passe par le point (.r, r).

Inversement, en partant de cette équation dilïérentielle (7) (4 en l'intégrant, on peut remonter à l'équation générale (5) des paraboles. En effet, écrivons cette équation dilïérentielle

Ai'PKF.i.. — l'Acnients d'Analijsc. — st.

Nous remarquons alors que le premier membre est la diflérentielle de 2L)', le deuxième de L.r, et nous avons, en intéi;ranl,