LX+L2C

L2C désignant une eonstante arbitraire. On peut écrire

Les paraboles, ainsi retrou\ées, fournissent Fintéiirale générale de l'équation différentielle (- ).

Exemple II. — Considérons les cercles ayant pour équation

où C est une constante arbitraire. Ces cercles ont leur centre sur Oj", et le rayon de chacun d'eux est égal à la moitié de l'abscisse du centre. Ils recouvrent toute la portion du plan situé(^ dans les angles aigus des deux droites AOA', BOB' ijig. 1^9), ayant pour équation

Ces deux droites constituent l'enveloppe des cercles, quand C varie de ^ — co à -f-cc. Par chaque point M (./, j'), situé dans l'un

Fig. 189.

des angles AOB ou A' OB', il passe deux des cercles (8). Cherchons les coefficients angulaires des tangentes à ces deux cercles. En dillerenliant ré({uation (8) par rapport à ./', en y regardant r C(mime fonction de ./', on a

•>.<:-i-jj' = <),

y' dcsionant la (lériv('H' de r par rapport à ./ . L'climinalion de C, entre les deux rfjiiations (8) et (lo), donne

Cesl Jà réqualion dilïerentielle des eereies eonsidérés (8); ^'lle est du deuxième degré en ]' : cela lient à ee que, par un point M (./•, )') du plan, il passe deux de ees cercles. Comme les <îercles eonsidérés recouvrent la partie du plan, située dans les angles VOB et A/ OB', on peut prévoir que Téquation dilïerentielle (i i) donnera pour r des valeurs réelles, seulement quand le point M(./', r) sera dans l'un de ces angles. En eOet, ])Our que, Téquiition [\ ]) en )' ait ses racines réelles, il faut et il sufiit que

ce qui montre que les coordonnées .r et y du point M doivent rendr(3 positif le facteur r- — •>,)'"? <>w encore que ce point doit être situé, par rapport au système des deux droites ./- — 3)-- = o, dans la même région que l'axe Ox : ce qui \éritîe bien la proposition. 11 est intéressant lie \oir quelles sont les positions que doit prendre le point M, pour qiie l'équation en j'ait une racine double. Alors le produit

doit être nul. Donc, ou bien le point M doit être sur l'enveloppe

des cercles

ce (pii est évident géométri([uemenl, vn\\ quand le point M vient se placer sur IJenveloppe A'OA, B'OB, les deux cercles passant par M se confondent en un seul; ou bien \c point M doit être sur l'axe O./

ui s'explique facilenn^nt, car, [)ar un point Q de cet axe, passent leux cercles du système tangents entre eux en Q : les coefficients ngulaires des tangentes à ces deux cercles, au point C^), sont donc gaux. L'axe des ./' est, pour les cercles considérés, ce qu'on appelle un lieu de contact^ lieu des points tels que les deux cercles de la famille, qui passent par un de C(!S points, soient distincts, mais tangents entre eux au point considéré.

ee ( < e

Nous avons ainsi étudié en détail l'équation différentielle des cercles (8). On pourrait remonter de cette équation dillerentielle à celle des cercles, c'est-à-dire à rintégrale «générale de Téquation difîérentielle. Nous ferons ce calcul plus tard, à propos de l'intéi;nition des équations différentielles homogènes.

333. Existence de l'intégrale générale. Méthode graphique. — Nous venons de voir (pie, si Ton considère une famille de courbes planes dont l'équation dépend d'une constante arbitraire, fordonnée d'une de ces courbes, considérée comme fonction de 1 abscisse, vérifie une équation différentielle du premier ordre, indépendante de la constante.

Il s'agit maintenant de démontrer la réciproque. VAant donnée une équation différentielle du premier ordre

il existe une famille de courbes^ dont l'équation dépend d\ine constante^ et telle que l^ ordonnée d'une quelconque de ces courbes^ regardée comme fonction de r abscisse, vérifie V équation différentielle donnée.

Pour démontrer ce théorème, nous emploierons d'abord une uK'thode graphique, qui peut rendre des services dans la pratique pour intégrer approximatisement une équation difîérentielle.

[^'équation différentielle donnée (A) peut être d'un degré quelconque en — - Considérons une des valeurs de —? obtenue en ^ dx dx

résolvant l'é(|uation (A) par rapport à -j- : soit

cette valeur.

Il peut arriver que cette \aleur de ;^ ne soit réelle que si le point M (^, r) est situé dans une certaine région du plan. Alors, il est évident que les courbes, vérifiant l'équation, seront nécessairement situées dans celte région. C'est ce qu'on a observé, dans

l'exemple II du numéro précédent, où ^ n'est réelle que si le point M est situé dans l'un des angles AOA' et BOB'.

Nous allons montrer que, par chaque point Mo ( /'o^ Ko) '^itué dans la réiiion où la valeur considérée

dy dx

est réelle, il passe une courbe inté*;rale. Pour cela, remarquons

que -J- est le coefficient angulaire de la tangente au point x^ y de

la courbe cherchée : il s'agit donc de construire une courbe, [)assant par un point donné Mq, et telle que le poefficient angulaire de la tangente, en chacun de ses points, soit donné par la relation (12).

Tout d'abord le coefficient angulaire y\ de la tangente à la courbe cherchée, au point donné Mo, est connu; il a pour valeur

Jo=/(^0:7o)-

On connaît donc la tangente MoT^ en ce point {fig- '90). Si,

Fi g. i()0.

sur cette tangente, on prend une longueur très petite MoM,, on obtient un point M, de coordonnées x^, >',, qui est, approximativement, un point de la courbe voisin de Mo- Le coefficient angulaire )'i de la tangente en M< est alors donné par l'équation (12) •

et Ton peut tracer la tangente M|T, en M,. Si, sur cette tangente, on prend une longueur très petite M< M2, on obtient un point M^, de coordonnées x-^^ >'2, qin est, approximativement, un point de

la courbe voisin de M,. Le coefficient an<;alaire )i <le la lan^enle en M2 est alors donné par

et ainsi de suite.

En conlinuant de cette façon, on construira un polygone MoMi ATo . . ., dont la forme donnera une idée approchée de la forme de la courbe intégrale. On peut démontrer riooureusement, et nous admettrons que, si Ton fait tendre vers zéro tous les côtés M„M< , M, M2, . . ., le p(dv<;one tend vers une courbe vérifiant Téquation différentielle

dx

On \oit, ainsi, qu'il existe une courbe intégrale passant par nn point arbitrairement choisi M„, et Ton a un moyen de la construire approximativement.

Il reste à voir que Féquation générale de c(îs courbes intégrales contient une constante arbitraire. Supposons, pour fixer les idées, que Taxe () )' traverse la région du plan, où existent les courbes intégrales. D'après ce qui précède, si l'on prend sur Or nn point quelconque A (y?^. i()i), d'ordonnée

il |)asse, par ce point, une courbe intégrab^C. Celte courbe change

de forme et de position quand le point A se déplace sur O >' : son équation contient la constante arbitraire )„.

Si Taxe O)' ne traverse pas la région <bi plan (3Ù ~ est r('*el, on peut prendre une autre droite DD' parallèle à O)', traversant cette

région, et se donner arbitrairement le point B où une eourbe intéi;rale reneontre DD' ; l'équation de la cour])e contient alors, comme constante arbitraire, l'ordonnée du point B.

Lignes de forces (V un champ plan. - La définition «;é()métricpie que nous venons de donner, des courbes intégrales d'une ('qualion différentielle du j^remier ordre, revient à dire que les courbes Intégrales sont les lignes de forces d\in certain chanq) plan. Soit, en effet, un cbamp plan dont les forces F ont pour projections X et YsurO./' et O )'. Les lignes de forces sont des lignes lelb^s que la force agissant en un point M d''une de ces lignes lui soit tangente. L'élément dx^ dy de la ligne en un point M a donc même direction que la force \, Y en ce point, et l'on a, tout \'ç long d'une de ces lignes.

dx

dy

dy

dx ~

Comme X et ^ sont des fonctions de ./ cl de )". on obtient une équation dilTérentielle de la forme (12).

R^écqiroquement, toute équation de cette formc'définit les lignes

de forces d'un champ pour lequel on aurait — z=f{x^ y).

Premier exemple. — Soit à intégrer l'équation diff'érentielle

Employons la méthode graphique, pour obtenir la forme des courbes intégrales. Prenons, sur la partie positive de O )', un point A, d'ordonnée )'o, et traçons, approximativement, la courbe intégrale, passant par ce point {fig- 192, 1).

Lf' coefficient angulaire )'ô de la tangente AT, à la courbe, en A, est positif :

j'o = rosi l'on prend, sur celte tangente, une petite longueur AM, du c»>t(' des ./' positifs, l'ordonnée ]-, de M, est supérieure à Vo, le

3j1 chapitre XVIII.

coefficient anj^iilaire j^j de la tangente ^F, To en ce point est

cette tangente fait donc avec Ox nn angle pins grand que la laiigente M,T,. Si Ton prend sur MiT^ une petite longueur M, ]VL. rordonnée 7'2 de Mo est plus grande que j-, ; le coefficienl angulaire j'^ '^^ ^'* tangente en M2

est donc plus grand que y\ et M2T3 est au-dessus de M|T.,. On

Fig. 192.

3/ /Tk

continuera de cette façon el Ton obtiendra nn polygone dont les côtés se relèvent de j)lus en plus et tendent à devenir verticaux. La courbe intégrale AM {fig- 192, lï), limite de ce polygone, a donc une ordonnée qui croît constamuient et indéfiniment : elle présente, vers la droite, la forme d une branche infinie, dont la tangente tend à devenir parallèle à Oy^ quand y augmente indéfiniment. 11 reste à voir si la courbe a une asymptote verticale ou si la branche infinie est parabolique. Or, on peut écrire Féquation (i3) sous la forme

(i4) dx=i^;

ntégrons, le long de la courbe, du point A au point M : x vari le o k X el y deyo à y :

JKo

y = yo e-^.

Quand jK croît indéfiniment, il en est de même de x; la brancli

infinie est parabolique. On pourrait, de même, tracer approximativement la courbe vers la gauclie.

Dans cet exemple très simple, nous avons une vérification de la méthode, puisque l'équation (i5) donne l'intégrale générale de l'équation dilFérentielle, avec une constante arbitraire j'^-

Deuxième exemple. — Soit Téquation différentielle

- dx -^

Construisons, encore approximativement, la courbe intégrale, qui part d'un point A de Oj', d'ordonnée ro- Au point A {fi g. 1 92, 1), le coefficient angulaire jkI t^^ la tangente AT, à la courbe intégrale est positif,

Si l'on prend, du cote des x positifs, une petite longueur AM,, sur cette tangente, les coordonnées x^^y^ de M, sont supérieures respectivement à celles de A; le coefficient angulaire j^'j de la tangente en M,,

est donc supérieur à y'^, et cette tangente MjTo est au-dessus de M,T, ; en continuant de cette façon, on obtiendra un polygone AMjMo ..., dont les cotés successifs se relèvent et tendent à devenir verticaux. La courbe intégrale AM {fig. h)3) présente

Fi g. 193.

donc une branche infinie, le long de laquelle la tangente tend à devenir verticale quand y augmente indéfiniment. Actuellement, cette branche admet une asymptote verticale, c'est-à-dire que x

tend vers une limile, quandy augmente indélinimenl. Poiirle voii\ remarquons que, le long de la eourbe,- x est une fonction dét<Mminée de )'

L'équation différenlielle peut s'écrire

dx =■ ,

ar2 + y^

On a donc, le long de la courbe,

dy

dx =

Intégrons maintenant du point A, de coordonnées (^o.^^-,^), au point M de coordonnées (.r, y), nous aurons

La première intégrale est x] dans la deuxième, la limile supérieure y est supérieure à j^^o et le coefficient de ^j^ est moindre

que — • D'après un théorème sur les intégrales définies (n" 37),

cette intégrale est moindre que

f'dy

On a donc

ro y

(huind y augmente indéfiniment, x croît constamment le long de la courbe, mais il tend vers une limite, car f inégalité montre

que X reste inférieur à la cjuantité fixe — • La courbe a donc nue asvmptote verticale BD, dont l'abscisse OB e^t moindre que •

334. Démonstration analytique de l'existence de l'intégrale générale. — Considérons une équation dilTérenlielle du premier oidre

r:QUATIONS DIFFERENTIKLLES DL PHEMIKII ORDRE.

Il - I . 'Jy

pposcc, comme plus haul, rcsoiiie par rapport a -r-

dy

dx

=yï^, j).

On pcul, en s'appiiyaiil sur la i'orniule de AJac-Laiirin, définir, à J'aide d'une série, l'intégrale générale de l'équation. Imaginons -une courbe intégrale, passant parle point A de Oy, d'ordonnée^},, [fi g. 194 )• Le long de cette courbe, y est une fonction de x qui

j)eut. sauf dans des cas exceptionnels dont nous ne nous occuperons {)as, être développée par la formule de Mae-Laurin en une série

(iC.)

conNergente dans un intervalle symétricpie par rapporta o. Dans ce développement, }',,, jl',, . . . désignent les valeurs que prennent, |)our X =r o, les dérivées successives de y par rapport à r. Nons allons voir cpie tous les coefficients de la série (16) peuvent être expriuics à l'aide deyo- D'abord on a, d'après l'équation donnée,

faisant x = o, y prend la valeur yo t't l'on a

Si, ensuite, on dérive les deux membres de (17 ) par lapport à j^.. en se rappelant q»»e y est une fonction de x. on a

Si, dans cette relation, on fait ^ == o. yz=:zy^^ y prend la

556 CHAPITRE WIII.

\aleur jKo précédemni<nil calculée et jk prend une \aleiir r^'. donnée j)ar ré(juatlon ( i<S ) ; cette \aleur est fonction de )'o.

En d(''rl\anl les deux mend^res de ( i8) [)ai- i-apporl à x. on a

celle l'clalion, où Ton fait :r = o, y z=. y^ el où l'on remplace y\^, y'\^ par leurs valeurs pr(}cédennnent calculées, donne i'J, en fonction dej)^^o- '-11 continuant ainsi, on calculera autant de coefiieienls j^'^,, y'^, >'J, ... que Ton voudra de la série (i()). (ni fonction deVo. Celte série définira alors, dans son intersalle de c(>n\<n"i;ence, une fonction y de x, contenant la constante arbitraire j\,

y = *im;^, j-'o),

et Nériliant Féquation dillerentielle : cette fonction est l'intégrale {générale de Féquation dilFérentielle.

En limitant le développement aux premiers termes, on a une e\j)ression approchée de l'intégrale générale, pour de ]>elites \aleurs de .r.

11 est é\ ident qu'on peut introduire, dans l'intégrale générale, une constante quelconque C : il suffît '\y remplacer y^ par une fonction quelconque de C

alor-sy de\ient fonction de ^ et C : y ^= ?('^'- ^0*

On pourra, de même, à l'aide de la série de Tajlor, former Féquation de la courbe intégrale, passant par un point donné (^x = j^o, y =yy ), ou, ce qui revient au même, obtenir l'expression de la fonction y de x qui vérifie Féquation dilTerentielle et se réduit à y,j pour X = Xq. Cette expression est de la forme

X — To , (.r — .To)- „

r=roH j J„H — y,-r...,

y\^^ y\^ . . . désignant ici les valeurs des dérivées de j^' pour x = Xq. Ges valeurs se calculent, de proche en proche, à l'aide des équations obtenues en dérivant une, deux, trois. ... fois Féquation diflV'rentielle et faisant ensuite x =■- .To, y =y,r

La série obtenue converge dans un intervalle symétrique par rapport à Xq.

r\)iir certaines positions spéciales du poinl Xq, y\), les séries peuvent être divergentes : le cadre de ces leçons ne nous permet pas de faire une étude détaillée de ces cas. Nous nous bornerons à remarfpier que ces cas exceptionnels se présent enl, en particulier, toutes les fois qu'un des coefficients r,,, y^- • • • ^'^^ infini.

335. Exemple. — Vppliquons la méthode ci-dessus à Téqualion déjà considérée. Si Ton dérive cette équation, on a successivement

On voit que toutes les déri\ées sont égales entre elles et égales ky. Si doiic nous voulons développer Tintégrale générale à l'aide de la série de Mac-Laurin

.r ^ Jo -H ^ JK'o -H Y^fo + • • • '

nous voyons (jue tous les coefficients j*^, y'[^. ... sont égaux à 1'^, et nous obtenons Tintégrale générale

sous forme d'une série convergente. On \oil que l'on a

comme nous l'avons vu par un calcul direct.

336. Coefficients indéterminés. — Au lieu de calculer, de proche en proche, les valeurs des dérivées successives j^,), j',' correspondant à X := o. jK = J'o7 on peut employer la méthode des coefficients indéterminés et essayer de \érifier Téquation différentielle à l'aide d'une série de la forme

(20) y = j^o-i- ctyx -\- a2:r2H-. . .-\- a,iX'^ -\- . . ..

lin substituant dans l'équation différentielle

^t écrivain que les deux membres sont identiques, on oiitient une suite de relations permettant de calculer «,, a-i, . . ., a„ an fonction <le >'o. Prenons, par exemple, Téqualion

dy , , , Vax y substituant le développement ( '><)j, nous avons

Si l'on identilie les termes contenant les mêmes puissances de x •dans les deux membres, on a

<roù l'on tire, de proclie en proclu

«1 = JKf.,

«3= -r^(^-^'iyl)'.

On obtient ainsi le développement

<[ui donne l'intégrale générale de l'équation pour de petites valeurs de X.