X- — &xy -i-y
xériliant Féquation dilleientielle : c'es^, une intrgrale particulière. Si l'on fait a 1=: i , on a une autre intégrale particulière
x"^ — 2xy -\- y-= o
{^' — yy=o «
qui est représentée par une diagonale du carré ABGD (Jig. M^O- On appelle intégrale singulière d'une équation différentielle toute solution de l'équation qui n'est pas une intégrale particulière. De lelles solutions n'existent qu'exceptionnellement. Par <'xem|)le, l'équation (^i) que nous venons de rappeler admet la solution
représentée, sur la figure i()(), par un des côtés du carré ABGI). Gette solution ne peut pas être obtenue en particularisant la constante a qui (igure dans l'intégrale (2) : c'est donc une intégrale singulière.
338. Théorème. Quand les courbes représentées par l'intégrale générale
^Co CHAPITRE XVIII.
cV une équation différentielle
dx I
ont une enveloppe, cette enveloppe est^ elle-même^ une intégrale de Véquation différentielle; c'est^ en général^ une intégrale
singulière.
Fig. 195.
En effet, soit E {fig. :9.V) l'enveloppe des courbes (3) : prenons un point lsl{^x, y) sur cette enveloppe; appelons
dx X
le coeflicient angulaire de la tangente MT à l'enveloppe, d^y et d^x désignant les différentielles des coordonnées correspondant à un déplacement infiniment petit sur l'enveloppe.
Par le point M il passe une courbe G, représentée par l'équation ( .) ) : cette courbe G étant une courbe intégrale, l'équation dilïerentielle est*vérifiée tout le long de cette courbe, et, en particulier, au point M ; de sorte qu'en appelant -j- le coefficient angulaire de la tangente MT à la courbe G en M, on a
•^' dx
Mais les deux courbes E et G étant tangentes en M, on a
dy d^ y dx diX On a donc aussi
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 56l
et cela, pour tous les points M de l'enveloppe E : cette enveloppe est donc une courbe intégrale.
Cette intégrale est en général singulière. Elle pourrait être particulière, car rien n'empêche les courbes intégrales générales d'avoir pour enveloppe l'une d'entre elles.
IV. - TYPE D'EQUATIONS DU PREMIER ORDRE INTEGRABLES PAR DES QUADRATURES.
339. Premier type : Les variables se séparent. — Soit une équation diirérentielle de la forme
On peut séparer les variables en mettant, dans un membre, un terme contenant uniquement y et, dans l'autre, un terme contenant uniquement x : pour cela, il suffît d'écrire
'•^' S\x)dx.
On a alors, en intégrant.
où G désigne une constante arbitraire.
Cette relation donne l'intégrale générale de l'équation différentielle (i).
Exemple. — Considérons l'équation
Cette équation est du deuxième degré en -~* Pour que les valeurs qu'elle fournit pour -^ soient réelles, il faut que les deux
facteurs i — x- et i — y- soient de même signe. Si l'on construit les quatre droites .r = =i= i , y =:^ zb i , elles forment un carré ABCD i^fig' 196); les deux facteurs i — x- ^l i — y- sont positifs, quand le point (.r, y) est dans l'intérieur du carré; ils sont tous deux
APPELL. — Éléments d'Analyse, — st. 3C
négatifs, dans les angles opposés par le sommet aux angles du carré ; ils sont de signes contraires, dans les régions indéfinies couvertes de hachures dans la figure 196. Les courbes intégrales sont donc
situées dans les régions blanches.
Fig. 196.
Supposons d'abord i — x'^ et i — y^ positifs; nous écrirons, en extrayant les racines,
dx y/i^2'
équation du type (i). Séparons les variables, nous avons
dy , dx
d'où, en intégrant.
arc sin^ =± arc sin.r -4^ C.
Telle est l'intégrale générale, de l'équation. Pour voir quelles sont les courbes qu'elle représente, prenons les sinus des deux membres : comme on a
sin(arc s'nxx) = a?, cos(arc s\nx) =±^\ — x'^,
il vient
y z=z± X cosC dr. /i — rr^sinC.
On peut se contenter de prendre les deux signes +, car.
C étant ime constante arbitraire, on peut, en changeant G en — G, changer à volonté le signe du deuxième terme, et, en changeant G en TU — G, changer, à volonté, le signe du premier. L'intégrale générale est donc
• y = x cosC -{- {/ 1 — a^^sinC
OU, en rendant rationnel,
(jK — a^cosG)2= (1 — 372) sin2C,
(3) x--hy^ — 2;r^ cosG = sin^C.
Cette équation, où G est une constante, représente des ellipses, ayant pour centre l'origine et inscrites dans le carré 'ABGD; en
posant
cosG = a,
on peut l'écrire
(4) x^-{-y^ — iàxy=^i — a^,
OÙ la constante arbitraire a est moindre que i, en valeur absolue. Si nous supposons maintenant i — ■ x^ et i — y^ négatifs, c'està-dire le point x^ y placé, en M', dans l'un des angles opposés par le sommet aux angles du carré, nous devrons, pour éviter les imaginaires, écrire l'équation différentielle
dy dx -
et.
en
séparant
les
variables, dy
dx
L'intégration est immédiate et donne pour l'intégrale générale
D désignant une constante arbitraire. Si l'on passe des logarithmes aux nombres, on peut écrire
(5) y -^ ^ y^ — I = (a? dz y/a-2 — \)e^.
Pour rendre cette intégrale rationnelle, remarquons qu'on peut l'écrire aussi
(5') y—\/y^—\ = {xzç:s/x''—\)e-'^^
car, en multipliant membre à membre les équations (5) et (5'), on obtient [une identité i = i. Ajoutons les équations (5) et (5'), il vient '
OU, en isolant le radical, élevant au carré et réduisant,
( 6 ) 372-4-^/2 — 2 xy
■ Cette équation, dans laquelle on fait
prend la forme déjà trouvée (4) avec cette différence que maintenant a est supérieur à i. Elle représente des hyperboles tangentes aux prolongements des côtés du carré.
En résumé, l'intégrale générale de l'équation
est
a"2-uj>r2 — -xaxy =: I «2^
a désignant une constante arbitraire qui est inférieure à i quand i — x'^ et I — j^2 sQnt positifs, supérieure à i quand i — x- et 1 — y'^ sont négatifs. Par tout point M(.r,^'), pris dans le carré ABCD, passent deux courbes intégrales qui sont des ellipses; par tout point M', pris dans les angles indéfinis, passent deux courbes intégrales, qui sont des hyperboles {^fig. 196).
Remarque. — On peut passer également de la forme (3) de l'intégrale générale à la forme (G), en supposant C imaginaire et posant
en effet, on a alors (n" 91)
cosC = cosïD = >
sin C = sin tD = —
Le fait qui se présente ici est général. Lorsque les courbes inté-
grales, trouvées par un certain procédé de calcul, restent réelles quand la constante arbitraire qui s'est introduite prend des valeurs imaginaires, les nouvelles courbes ainsi obtenues sont encore des intégrales de l'équation différentielle, puisque cette équation se déduit de l'intégrale générale par l'élimination de la constante.
Intégrales singulières, — Quand la constante arbitraire a varie, les courbes intégrales» générales (3) ont pour enveloppe la ligne
qui se compose des quatre droites
a7 = ihi, JK=±i,
formant les côtés du carré ABGD {Jig, '95)- Ces quatre droites sont des courbes. intégrales de l'équation (2), comme le vérifie en écrivant cette équation
pour X ^=±1 ^ les deux membres sont nuls ; de même pour jK = =t I . On a ainsi quatre intégrales singulières.
Le calcul général ne nous a pas donné ces solutions; car, en séparant les variables, nous avons ^mis en dénominateurs y/i — x- •. et y/i — y^, ce qui suppose implicitement qu'aucun de ces diviseurs n'est nul.
340. Deuxième type : Équations homogènes. — Une équation différentielle homogène du premier ordre est de la forme
(^) %=fiS)
Cette équation est dite homogène^ car elle ne change pas quand on remplace :r par kx et y par ky^ k désignant une constante quelconque.
On la ramène au type [précédent en faisant le changement de fonction
d'où
(8) y=zxz.
Il est évident que, pour connaître jk en fonction de x^ il suffit de connaître z en fonction de x. Comme on a, d'après (8),
dy dz
dx '^ dx
l'équation différentielle proposée devient
Les variables peuvent alors se séparer, et l'on peut écrire , ^ dz dx
d'où, en intégrant,
" f-±—=Lx-^C.
Cette relation donne l'intégrale générale de l'équation (9). En j remplaçant, après l'intégration, jz par — . on a l'intégrale générale de l'équation (^).
Exemple. — Soit l'équation
^rV , /.,9 /^ , .,^y
Hy^-yx^y-j~) =0.
Cette équation, ordonnée par rapport à -^) s'écrit
dx 7 " dx
d'où
dx -iy-3V\y/
-Cette équation est une équation homogène. Faisons y = xz et prenons le radical positivement, l'équation devient
dz
dx 3z ' 3V -z^
ou, en séparant les variables et intégrant.
