II) / =1.3?— LD
D désignant une constante arbitraire. Pour effectuer la quadrature, faisons
d'où
— "iz dz = u du.
L'intégrale du premier membre devient
— udu C du , . .
U~-\-1U J u-hi
c'est-à-dire
L'équation (i i) s'écrit donc'
— L(v/i — 3^2.^2) = Lcc — LD ou, en passant des logarithmes aux nombres,
x{\/i—'iz^-^i) = D.
Il reste à remplacer z par-; on a ainsi
v/./;2— 3j2+ ix = D ou, en rendant rationnel,
(10) 3(a^2 + ^2)4Da7H-D2=0.
Telle est l'intégrale générale de l'équation (lo) avec la constante D. On voit que les courbes intégrales sont des cercles. En faisant un changement de notation et posant
nous pouvons écrire l'intégrale générale
^2 ,^2 4 C:r H- 3 G2 = 0 ou
{x — 2Cy-hy^—C^= G.
Nous retrouvons ainsi les cercles dont nous sommes partis dans l'exemple II du n" 332 pour former l'équation différentielle que nous venons d'intégrer.
Exercice. — L'équation homogène
a pour intégrale générale
:r2— 2G7 + G2= o, G désignant une fonction arbitraire.
Remarque. — Les courbes, représentées par V intégrale générale dUine équation différentielle homogène^ sont homo thétiques de Vune quelconque d^ entre elles par rapport à V origine.
En effet, soient AB une courbe satisfaisant à l'équation
M(^, j ) un point de cette courbe {^fig- 197)'
<Fig. 197.
Construisons la courbe A, B,, homothétique de AB par rapport au point O. Les coordonnées du point M, {^x^^y^ ) de cette courbe, homologue de M, sont données par les équations
ÔMi = /.-ÔM, x^ = kx, yx = ky, k désignant une constante. On a donc
dxy =^ k dx, dyi = k dy^
de y dx^ Xx x'
l'équation (i3), supposée vérifiée, entraîne donc
dx
€t la nouvelle courbe A< B, vérifie la même équation, quel que soit k.
La proposition est donc établie.
Par exemple, les cercles trouvés plus haut,
sont homothétiques de l'un d'entre eux par rapport à O.
Intégrales singulières. — Si des courbes homothétiques par rapport à un point O ont une enveloppe, cette enveloppe se compose évidemment de droites passant par O. Dans le cas présent, s'il existe des intégrales singulières, elles sont donc de la forme
y = moc
{m constante). D'après l'équation (7), m est racine de l'équation m z=J'(^m)y c'est-à-dire z ^ m.
On ne les trouve pas dans le calcul général; car, lorsqu'on écrit l'équation (9), on met en dénominateur f\z) — z qu'on suppose différent de zéro.
Ainsi dans l'équation (10), les cercles constituant les courbes intégrales générales ont, pour enveloppe, les deux droites
dont les coefticients angulaires sont racines de l'équation
4/n2(m2-+- 1) — (m^-h if — o.
Ces droites sont des intégrales singulières.
3 il. Troisième type : Équations de la forme
(î4) ^ ^ r(.li^±j!Z-Z-L),
dx -^ \a' X -^ ly y ^ c' j *
a, ^, c, a', 6', c désignant des constantes. — On peut rendre homogène une équation de ce tjpe en portant l'origine au point de rencontre des deux droites obtenues en égalant à zéro les deux expressions ax-\- by-\-c et a' x -\- b' y -\- c' . En effet, appelons a et [^ les coordonnées du point de rencontre de ces deux droites ;
570 CHAPITRK XVIII.
on a
aa H- è p -4- c = o,
Faisons alors le changement de variables
qui revient à transporter l'origine des axes au point (a, j3); il vient
dx — dxi, dy = dji , ax -+■ b y -+- c = axi -h byi, a' X -+- b' y -h c' = o- x^ -h b' yi^
et l'équation devient
dyx ^ / axi-^ byi dxi -^Xa'xi-h b'yi ' '
ce qu'on peut écrire
Le deuxième membre étant fonction du seul rapport —> on est ramené à une équation homogène qu'on peut intégrer en faisant
Cas EvcEPTioNNEL. — La méthode précédente suppose que les droites obtenues en égalant à zéro les deux expressions ax-\- by-\-c et a' X + b'y-\-c' ne sont pas parallèles. Quand elles sont parallèles, on a
\ désignant une constante. L'équation proposée s'écrit alors
dy __Vax-\-bf-^c~\ dx "-^ \\{ax -^ by)-^ c' \
Dans ce cas, on conserve la variable x, et l'on pose
ax-^by =yx,
y, étant une nouvelle fonction de x. On en déduit
iL =^- ^ ^
dx h dx h et l'équation devient
\ dy^ a ^ / yx-^c b dx h -^ \XjKi + c'
où les variables se séparent quand on résout par rapport à dx. Exemple 1. — Soit à intégrer l'équation
(i5) {ix -^'iy -\- \) dx -\-{'ix -\- ^y -hi)dy = o.
De cette équation on tire
dy 9.,r + ?>y + i ^ dx 3a; -f- ^y -h i '
-T- est donc une fonction du rapport de deux expressions linéaires
en X Ql y.
Déterminons les nombres a et [5 qui annulent ces deux expressions :
3 a -h 4 [3 + I = G, on trouve
Faisons alors
l'équation devient
dyi ^ 2371 H- 3jKi dxi 3a7i H- 4jKi
équation homogène. Posons
(17) ^ =z, yi=zxiz,
jîous avons l'équation
dz 2-4-3 2
Z -^Xi
dxi 3 -f- 4
et, en séparant les variables,
dxy (3 -i- ^z) d<
Dans le deuxième membre, le numérateur est la différentielle du dénominateur; on a donc, en intégrant.
ihxi = — L(i-h35 -i-'2 22)-H LG;
ce qu'on peut écrire
Lxl{i-h 3z -\--2z-^) = LC, d'où
Telle est l'intégrale générale de l'équation. Revenons d'abord
aux variables Xi ely^ en remplaçant z par—, l'intégrale trouvée
devient
xl + 3a:, ^1+ 2jk| = g.
Si, enfin, on revient aux variables x et y par les formules (i6),
Xi=X — l, J^i =^-hl,
on a l'intégrale générale de l'équation proposée (i5) sous la forme
(i8) x^-h 3xy -^ 2y^-h X -i-y = G.
Vérification. — Dans cette équation (i5),.le premier -membre est une diff'érentielle totale exacte, car [la dérivée du coefficient de dx^ par rapport à y, est[jégale à la dérivée du coefficient de dy par rapport à ^. La théorie sdes diff'érentielles totales à deux variables (n" 283) nous montre alors que l'équation peut s'écrire
d( x^ -h 3xy -\- 2^2 ^ 2j ^^^ Q
La fonction soumise à la différentiation est donc constante le long d'une courbe intégrale; ce qui donne l'intégrale générale (i8).
Exemple IL — Soit à intégrer l'équation
dx \ix — 2/ -t-
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. ÔjS
Actuellement, les deux droites obtenues, en égalant à zéro le numérateur et le dénominateur, sont parallèles : les coefficients de X et y sont proportionnels, dans les deux termes du rapport. Nous ferons alors
l'équation devient
dy\ I y\ — 1
dx \ •2yx-r- I
ou, en séparant les variables.
Pour intégrer le deuxième membre, on décompose la fraction rationnelle, en j^i, en fractions simples. On a ainsi
\ 3 6 Vi ti JKiH- '2/
^- ^ji- -Lji— -L(jKi-+-2)-t-G
ou, en revenant aux variables r et y par la substitution
et réduisant, après avoir chassé les dénominateurs,
8jK — '^x — L '' "^ — y) H- 9 ^^ ( •■î" — y 4- ?- / = C,
G' désignant une constante arbitraire.
On a ainsi l'intégrale générale de l'équation (19).
3i2. Quatrième type : Équations linéaires. — Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme
•20) /(a;)^ -l-jKcp(.r)z= tl>(,r);
on la nomme linéaire, car elle contient linéairement y et -;- -
•^ ax
La fonction «L [x) s'appelle le second membre de Téquation. Lorsque cette fonction est nulle ^ le second membre est nul : on
574 CHAF>ITRE XVIII.
dit ordinairement qae, dans ce cas, l'équation est sans second membre ou encore qu'elle est linéaire et homogène^ car elle est
alors linéaire et homogène en y et -7^ •
Pour intégrer une équation linéaire telle que (20), on commence par chercher l'intégrale générale Y de la même équation sans second membre. On résout donc le problème auxiliaire d'intégrer l'équation
(•21) /■(^)^+Ycp(:r)-o
qui donne
et, en intégrant,
dx
dX cp(iP)
Lojï^ =— / ^r^ — dx,
d'où
en posant pour simplifier
c- J jn^
On a ainsi l'intégrale générale de l'équation auxiliaire (21) avec une constante arbitraire G. La fonction j'< est une solution particulière de cette équation. Elle vérifie dohc la relation
(',1') /(^)^'+ri?(^) = --
Cette première opération faite, on emploie la méthode de la variation des constantes pour intégrer l'équation donnée (19). On essaie de vérifier cette équation par une solution
(•22) r = GjKi
de la même forme que Y, mais en supposant que G n'est plus constant, mais est une fonction inconnue de x. On a alors
dy dd dyx ^
dx ~^^ dx dx '
d'où, en substituant dans (V9),
ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE. SyS
Mais le coefiicient de G est nul d'après (21) : C est donc donné par une quadrature
K désignant une constante.
L'intégrale générale de l'équation donnée (20) est alors
cette expression est de la forme
y = KjKi + II,
oùyt est une solution de l'équation sans second membre, K. une constante arbitraire et u une solution particulière de l'équation proposée, à savoir la solution qui correspond à K =: o.
Actuellement, il n'y a pas d'intégrale singulière, car la constante K figurant au premier degré dans l'intégrale générale, les courbes intégrales générales n'ont pas d'enveloppe.
-Exemple. — Soit à intégrer l'équation
dy dx
siniT
= CCS a: -
Intégrons
l'éq
uation auxiliaire
obtenue
en
supprimant
le
second
membre
dY Y
dx siii.r ~" '
dx
sinrp
J tang — •
En passant des logarithmes aux nombres, on a
Y = G tang- •
Faisons alors, dans l'équation (28), j' = Ctang-, C étant fonction de x, l'équation en C devient
tang f
OU, en remplaçant i — cos x par 2 sin- —
En intégrant, on a
(iC = — 2 sin — cos — dx.
Comme on a posé r = G tang-j on a, enfin, pour l'intégrale de l'équation proposée,
V — 2 lane — cos'^ h K tanff -
sin —
ou encore, en remplaçant tang- par et, en réduisant.
cos ^
y =1 sinar-l- Ktang-»
II est facile de vérifier que cette fonction rend idenîiques les deux membres de l'équation proposée (2^).
343. Cinquième type : Équation de Bernoulli. Soit une équation de la forme
dy
OÙ n est un exposant constant quelconque. Llne pareille équalion se ramène à une équation linéaire.
En efïet, on peut l'écrire, en divisant par j" :
ce qu'on peut écrire
f{-'^') — —, h r 1"" oix) — 'i ( .r ).
1 — n' ^ dx . V / T
L'é(juation prend alors la forme linéaire si l'on y considéie y' "
comme 1 inconnue
EQUATIONS DIFFERKNTlELLIiS DU PUEMIER ORDRE. 377
On a, en effet,
I — n dx
équation qui est linéaire.
Le calcul précédent est en défaut, quand «= i , mais alors l'équation proposée s'écrit
et les variables se séparent.
Exemple. - Soit l'équation
dy
Divisons pary- En posant
dy
d'où
., dy^ dz
y dx ~ dx
on est ramené à l'équation linéaire
^ X dz ^
dx
Intégrons d'abord l'équation sans second membre
dZ .,
dx Elle donne
dL dx^ Z X
Z = Cx.
Faisons alors dans (25) le changement d^inconnue
z = Cx,
appi:li.. — Èléinents d'Analyse. — st.
578 CHAPITRE XVIll.
OÙ C est fonction de x. L'équation en C devient
C = — / — L a; rfa -4- K .
L'intégrale se calcule en intégrant par parties et l'on a
G= - La; H h K,
d'où
^z=Ga;— L^-4-i-i-Ka-
et, en remontant à y,
intégrale générale de l'équation (24)-
344. Sixième type : Équation de Clairaut. — On appelle équation de Clairaut une équation différentielle de la forme
Supposons qu'on résolve cette équation par rapport à j' -^T"' on pourra écrire
(26) y = -vy'-^f(y),
en employant la notation des dérivées. Nous allons intégrer cette équation (2(3). Pour cela, dérivons le premier membre par rapport à X : nous aurons
ce qui peut s'écrire
(■27) yr^ +./'(/)! = 0.
On voit alors que les fonctions j^ de x^ vérifiant l'équation, sont telles que l'un des facteurs du produit précédent soit nul.
Supposons d'abord
y''=<y^ alors
ÉQUATIONS DIFFKRENTlELLirS DU PREMIER ORDRE. 679
et, comme la fonction doit vérilier Féquation (26), on a, en j remplaçant y' par G,
(■.^8) . jK = G;r+/(G).
C'est là l'intégrale générale : elle est constituée géomcHriquement par des droites. Oft vérifie immédiatement que la fonction (2(S) rend identiques les deux membres de l'équation proposée.
Supposons maintenant que la fonction y annule l'autre facteur du produit (aj) :
Gomme cette fonction doit vérifier aussi l'équation donnée, on Tobtiendra en éliminant l'inconnue auxiliaire y' entre les deux relations
sm-
L'équation entre x ely ainsi obtenue donne une intégrale gulière de l'équation différentielle. La courbe représentative d cette intégrale singulière est Tenveloppe des droites (28) qui constituent l'intégrale générale. En effet, pour obtenir l'enveloppe des droites (28), quand G varie, il faut éliminer G entre l'équation (28) et sa dérivée par rapport à G :
L'élimination de G, entre ces deux équations, conduit au même résultat que l'élimination de y' entre les deux équations (29), car le deuxième groupe d'équations ne diffère du premier que par la su])stitution de G àjK •
Exemple. — Soit un point fixe F sur l'axe Ox {fig. M)^) • trouver une ligne telle (ju'en menant la tangente en un quelconque M de ses points et joignant au point P le point T où cette tangente coupe Oy, l'angle MTF soit droit.
Appelons a l'abscisse constante du ])()inl F. L'équation de la tangente, en M (:r, y)^ étant
58o cirAPiTUE xviii.
le point T a pour coordonnées
Fig. i(j8.
le point F a pour coordonnées
Le coeflîcient ani^ulaire de TF est donc
celui de MT est y' . Ecrivant que ces directions sont rectangulaires, on a ■ '•
d'où l'équation de Clairaut
(3i) y = ory
L'intégrale générale s'obtient en remplaçant y' par C : elle est représentée par des droites
Ces droites sont les perpendiculaires indéfinies TMD élevées par les divers points T de Oy aux droites TF : chacune de ces droites répond à la question; c'est une ligne telle ({ue la tangente, en un point quelconque de cette ligne (tangente qui se confond avec la droite), possède la propriété de l'énoncé.
Mais l'équation différentielle admet une autre solution (intégrale
singulière), qui est la courbe enveloppe des droites (32). Pour avoir cette enveloppe, il suffît d'écrire que l'équation (3^) en G a une racine double, ce qui donne
équation d'une parabole de fojer F et de sommet O.
Remarque. — On est conduit à une cqualion de Clairaut toutes les fois qu'on cherche une courbe plane, dont les tangentes possèdent une propriété, dans l'énoncé de laquelle ne figure pas le point de contact. L'intégrale générale est alors formée par les droites du plan qui possèdent la propriété en question, et Tinlégrale singulière est l'enveloppe de ces droites.
345. L'intégrale singulière déduite de l'équation différentielle. — D'après ce qui précède, si l'int(''gi*ale généiale d'une équation du premier ordre
a une enveloppe, quand la constante arbitraire varie, celte enveloppe est une intégrale de l'équation^ et, en général, une intégrale singulière. Mais, pour obtenir ainsi des intégrales singulières, il faut connaître l'intégrale générale. Il est utile d'avoir une méthode pour trouver directement les intégrales singulières, quand elles existent, à l'aide de la seule équation diUérentielle et sans connaître l'intégrale générale. ^ oici, à cet ('gard, la règle (pie nous allons démontrer.
S'il existe des intégrales singulières^ enveloppes des intégrales générales^ elles se trouvent parmi les courbes obtenues^ en éliminant y entre l'équation différentielle
et V équation dérivée par rapport et y'
c est-à-dire en exprimant que C équation différentielle., où Von regarde y comme une inconnue^ admet une racine double.
58i CHAPITRE XVIII.
En efïet, léquatioii difïVvrentiellc. où l'on regarde y' comme rinconniie, donne les coefficients angulaires des tangentes aux courbes intégrales, passant p.ir un point P [x^ y) du plan. Supposons que les intégrales générales aient une enveloppe E {fig. igS) ; quand le point P est voisin de Fenveloppe, parmi les courbes intégrales générales, passant par P, il^s'en trouve deux, O et (j', très voisines l'une de l'autre, de sorte que les coefticients angulaires des tangentes, en P, à ces deux courbes ont des valeurs très voisines; quand le point 1^ tend vers un point M de l'enveloppe, les deux courbes (i et i\' se confondent en une seule G, tangente, en ^1, à l'enveloppe et les deux coefficients angulaires des tangentes, en P, deviennent égaux entre eux et égaux au coefficient angulaire de la tangente en M.
Donc si le point M (^, )') appartient à l'enveloppe des intégrales générales, l'équation
où y est regardée comme l'inconnue, admet une racine double.
l^a proposition est donc démontrée.
Mais la réciproque n'est pas exacte. Un point M (^, J^), tel que l'équation F {x^ y, y') = o ait une racine double en y' ^ n'est pas nécessairement un [)oint de l'enveloppe des intégrales générales. Ce peut être un point tel que, parmi les intégrales générales passant par ce point, il j en ait deux distinctes, G et G', tangentes entre elles {fîg'. 199, I). Ce peut être aussi un point INI tel que,
parmi les courbes intégrales générales passant par ce point, il j en ait une présentant, au point M, un point singulier avec deux tangentes confondues, un rebrousscment, par exemple {ftg- 199, H)- D'après cela, si l'on cherche le lieu des points [x^ y) pour lesquels l'équation F (:r,y, )') = o admet une racine double en y\ on trouve à la fois : 1" l'enveloppe des intégrales générales, quand elle existe; 2" le lieu des points par lesquels passent deux courbes
ÉQIATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORERE. 5^3
intéf;ralcs distinctes tangentes, lien <ju^ on appelle lieu de contact; 3° le lien des points singuliers, à tangentes confondues, des intégrales générales.
Pratiquement, pour obtenir Finlégrale singulière enveloppe des intégrales générales, quand elle existe, on commence donc par chercher le lieu des points [x^ y), pour lesquels l'équation différentielle admet une racine double en y\ c'est-à-dire qu'on élimine y' entre les deux équations
Soil
le lieu obtenu : en général, le premier membre de cette équation se décompose en plusieurs facteurs, et le lieu, en plusieurs courbes distinctes. La solution singulière cherchée se trouve parmi ces courbes ; on la reconnaît en essayant successivement ces diverses courbes et en voyant laquelle d'entre elles vérifie l'équation différentielle. Cette courbe spéciale est, en général, une intégrale singulière. Les autres courbes trouvées sont des lieux de contact ou des lieux de points singuliers.
Il peut arriver qu'aucune des courbes ainsi obtenues ne vérifie l'équation différentielle; il faut en conclure que l'intégrale générale n'a pas d'enveloppe.
Exemples. — i** Un premier exemple simple est fourni par l'équation différentielle
^y''y"'-r~^y'- — {x-\-yyy- = o,
fornuM' dans le n** 332, et déjà prise comme exemple dans le n^ 34'0. En cherchant le lieu des points, pour lesquels cette équation en y' a une racine double, on trouve
Ce lieu se décompose en trois :
Les deux premières fonctions vérifient l'équation; ce sont des intégrales singulières. La troisième )' = o ne la vérifie pas : elle définit un lieu de contact, comme nous l'avons vu (n" 332).
2^ Soit l'équation différentielle
(33) ^(3-4j)V2 4(,jK) = o.
En écrivant que cette équation du deuxième degré en y' a ses racines égales, on a la condition
7(3- 4jk)Hi— 7) = <>•
Le lieu, ainsi défini, se compose de trois droites :
La première fonction y = i vérifie l'équation, car si l'on substitue >' = I , on a jk' = o ; on a ainsi une intégrale singulière.
Les fonctions y = o et j^ = - ne la vérifient pas : nous allons
voir que Tune définit un lieu de points de rehroussement deVhi^ tégrale générale et l'autre un lieu de contact. Pour cela, intégrons
l'équation différentielle. En remplaçant j'' par-^, on peut séparer les variables et écrire
OU
On vérifie, sans peine, que l'intégrale indéfinie du deuxième membre est
on a donc
OU, en rendant rationnel.
Telle est l'intégrale générale de l'équation. Quand G varie, la
courbe représentée par cette équation ne change pas de forme : elle se transporte, parallèlement à elle-même, le long de Taxe O^. Construisons la <;ourbe obtenue en faisant C=:=o; cette couibc {fig- 200) a un rebroussement en O, avec tangente verticale; le
point le plus haut A correspond k x ^^ o^ y =^ \ ] les point B et B',
a tan2:entes verticales, ont pour coordonnées x =^ -±l —-r-y y = -•
Quand G varie, c'est-à-dire quand cette courbe se transporte le
long de Ox^ son enveloppe est la droite AA.', jy = i (intégrale
singulière) ; le lieu du point de rebroussement est l'axe Ox^y = o ;
enhn le lieu des points O, où deux positions difïérentes de la
courbe peuvent être tangentes, est la droite BB', ,r =^ ; (lien de
contact).
