V. — REMARQUES SUR LE CHANGEMENT DE VARIABLES
346. Échange de la fonction et de la variable indépendante. — Dans ce qui précède, nous avons constamment considéré jk comme la fonction et x comme la variable indépendante. Mais il va de soi que, dans une équation ditrérentielle,
on peut considérer x comme la fonction et y comme la variable.
indépendante.
. Par exemple, l'équation
où l'on regarde y comme la fonction inconnue, ne rentre dans
aucun des types que nous avons indiqués. Mais, si l'on y regarde x comme la fonction et y comme la variable, on peut l'écrire, en multipliant par -^ ,
dx
dy
et Ton a une équation linéaire^ par rapport à la fonction inconnue et à sa dérivée.
Pour l'intégrer, on suivra la méthode générale indiquée : on commencera par intégrer l'équation sans second membre
dy
L'intégrale générale de cette équation étant
X = Ce-),
on cherchera celle de l'équation avec le second membre, sous la forme
où C sera considéré comme fonction dej'. En dérivant, on obtient
dx ^ dC
dy dy
L'équation devient alors
dC
dC = — y^ey dy ,
C = — i y^eydy-\- K.
En intégrant par parties, on a
/ y^ey dy = / y"^ dey = y'^ ey — 3 / y^ey dy^
I 72 ey dy = I y"- dey = y^ ey — 1 j y ey dy,
I y ey dy = I y dey = y ey — / ey dy,
I ey dy — ey.
KQLATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE.
On a donc, en remontant de proche en proche,
/ y^ ey dy = ey{y'^ — 3j/2 } 6 j^ — G
Comme on a posé x = Ce ^, on a enfin, pour l'intégrale générale de l'équation difïerenlielle donnée, '
a- = 6 — 6j^ -h 3 j- — jK^ + Ke-y.
347. Septième type : Équation de Clairaut généralisée. (Équation de Lagrange.) - Soit une équation de la forme
('54) 7 = ^?(JK';-^-/(y),
qui se réduit à l'équation de Claira-ut quand ^{y') =,)'. Prenons encore les dérivées des deux membres par rapport à ^ : il vient
Si, dans cette équation, on regarde x comme la fonction inconnue et )' comme la variable, c'est une équation linéaire.
Il suffît d'intégrer cette nouvelle équation, puis de remplacer )' par la valeur ainsi trouvée, en fonction de x^ dans l'équation (34), pour avoir l'intégrale générale de cette équation.
348. Changement de variables en général. — Etant donnée une équation différentielle
on peut essayer de la simplifier, en prenant de nouvelles variables ii, et v^ liées à x et j-, par des relations de la forme
Le long d'une courbe intégrale, œ et j- peuvent être regardés comme fonctions d'un même paramètre t] les formules (36), résolues par rapport à a et e,
montrent que ii et c sont également des fonctions de ce paramétre.
On a donc, d'après (36), en faisant varier ce paramètre de dt^
dx — — du - -r- dv.
Ou ()v '
dy = -i- du -h -~ di'.
^ au ()\>
En portant les valeurs de x^y^ dx^ dy dans Téquation (JiU'érentielle, on la transforme en une équation différentielle entre a et e. Si l'on sait trouver l'intégrale générale
<I»Ui, ^', G) — o
de cette équation, on en déduit l'intégrale de la proposée en v remplaçant u et v par leurs valeurs (3-).
Exemple. — Soit, par exemple, l'équation
(38) {x"*- -^- y-) {x dx -\- y dy) = {x^ -^ y- -^ x){x dy ~ y dx).
Si Ton prend des coordonnées polaires ;• et B, liées aux coordonnées cartésiennes par les formules
a" = /"cosO, j^rzz/'sinO,
cette équation devient
^/- = (/•-+- rosO )r/0 ou
équation linéaire en r dont l'intégrale générale est /• = GeO-h -(sinO — cosO).
L'intégrale générale de l'équation (i6) est donc
, .-rcian;.'- i
xi-^ y'^— C^x-^-^ y- e ^'-v- - {y — x).
