VI. - APPLICATIONS : TRAJECTOIRES ORTHOGONALES; FACTEUR INTÉGRANT
349. Familles de courbes orthogonales. - Soit une é(piation différentielle du premier ordre
et
cette équation résolue de façon à donner une des déterminations de -—' L'équation (2) donne, comme nous l'avons vu, au commencement du Cliapitre, le coeftîcient angulaire de la tangente à une des courbes intégrales G qui passent par le point (:r, v)- Les courbes intégrales
forment une famille de courbes G à un paramètre C. Les trajectoires orthogonales des courbes intégrales G sont des courbes H coupant toutes les courbes G à a// i,>/e ^ro// . Si l'on imagine celle des courbes H qui passe par le même point (^, r) et qui coupe la courbe G considérée à angle droit, le coeflicient angulaire de la tangente à H
est — : Féquation diOérentielle des courbes H, trajectoires
orthogonales des courbes G, est donc
dy
dx JX^iy) (1) -$-/^^^^')-
D'où la règle suivante : Etant donnée une équation différentielle (2) qui définit une famille de courbes à un paramètre^ r équation différentielle des trajectoires orthogonales s'obtient
en remplaçant dans V équation différentielle -j- par — -j--
Prenant l'équation diflerentielle sous la forme (1), on peut lui appliquer la même règle et dire que l'équation différentielle des trajectoires orthogonales des courbes intégrales est
djr\
On pourra appliquer cette règle aux divers exemples précédemment traités. Prenons la parabole
dont l'équation différentielle est
dy j^ dx jl X
Les trajectoires orthogonales ont pour équation différentielle
dx y dy 7. X
En séparant les variables et intégrant, on trouve les ellipses
3o0. Facteur intégrant. — Soit une expression de la forme (-)) Xdx-^\dy,
où X et Y sont fonctions de x et de j^ Celte expression nest pas, en général, une différentielle totale. Mais il existe toujours des facteurs ). fonctions de 00 et de y tels que le produit
(6) l(Xdx-^Y dy)
seit une différentielle totale. Voici comment on prouve l'existence de ces facteurs. Considérons l'équation différentielle auxiliaire
(7) Xdx-{-\dy^o
obtenue en égalant l'expression considérée (1) à zéro. Celte équation, étant du premier ordre, admet une intégrale générale de la forme (3), que nous supposerons résolue par rapport à la constante C :
Pour obtenir le coefffcient angulaire de la tangente à celle des courbes intégrales qui passe par le point (x, y), en ce point, il
suffft de tirer de (8) la valeur de -— par la méthode de dérivation des fonctions implicites,
d\J (RJ cly
Cette valeur de -j- devant être la même que la valeur tirée de
EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE. . 69I
l'équation diflt'rentielle (7), on a
OÙ nous appelons "k la valeur commune des deux rapports. Dès
lors,
dU . ^, à{] , ^
— = aX. — — aY
dx- ' ây
et
hiXdx-^Ydy) = dV.
\l existe donc au moins un facteur intéi>rant k. Mais alors il en existe évidemment une infinité, car, si l'on prend
à étant une fonction quelconque de L, Xj est aussi fadeur intégrant; en effet, on a
lx{^dx-h\ dy) = 'h{\J)d\],
OÙ le second membre est la différentielle de
Exemple. — L'expression — y dx -^ x dy admet comme facteur intégrant — ? car *
^.{-ydx-^-x dy) = d[^j ;
de plus, cette expression admet comme facteur intégrant toutes les expressions
c'est-à-dire toutes les fonctions homogènes de degré — 2 de ^ et dey, par exemple.
ax--\- ib xy -h cy'^ rï, 6, c étant des constantes quelconques.
XJ'i C[IAP1TRE XVIII. — EQUATIONS DirPHRINTIELLES DU PREMIER ORDIlE.
Remarque. — Quand on connaît un facteur intégrant de (i), l'intégrale générale de l'équation différentielle (3) s'obtient par quadratures : elle est L = C. Inversement, si l'on ne peut pas deviner la forme du facteur intégrant et si l'on veut trouver un tel facteur, il faut, d'après la méthode même, intégrer l'équation ( 7).
