ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE ET D'ORDRE SUPERIEUR
351. Existence de l'intégrale générale. — Une équation différentielle du deuxième ordre est de la forme
On appelle intégrale générale de cette équation une fonction )• de X et de deux constantes arbitraires Ci et G^, ~
vérifiant identiquement l'équation. On peut se rendre compte de l'existence de cette intégrale générale par les considérations suivantes, analogues à celles que nous avons développées à propos de l'équation du premier ordre (n** 334).
Employons, pour simplifier Técriture, la notation des dérivées.
L'équation ( i) délinit -r-^ ou y" en fonction de x^ y, y' . Soit
une des valeurs y ^ tirée de l'équation (i). Cherchons à former, à l'aide de la formule de Mac-Laurin, une série ordonnée, suivant les puissances entières et positives de x, vérifiant l'équation (i). Cette série sera de la forme
Appulf,. — lAénients d'Analijsc. — st. 38
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Il s'agit de calculer les coefficients jo 5 J^'o' J'o? ••• <^ui sont les valeurs de la fonction y et des dérivées successives pour x ^ o. Nous allons voir que tous ces coefficients s'expriment, en fonction des deux premiers, qui restent arbitraires. En effet, dans l'équation différentielle donnée (i bis)^ faisons .r^^ o ;jj', )',)'' prennent des valeurs jKo7 y'oi y'o ^^ ^'^^ ^
Pour avoir j'^', différentions l'équation (i bis) par rapport à j', en nous rappelant que j' et )' sont fonctions de ^; d vient
(3). y.^f^lLy^i^y
En faisant dans cette relation :r = o, on a j'J en fonction de jo et j^'y, car jk'o est connu, en fonction de ces deux quantités. Dérivant de nouveau la relation (3) par rapport à x et faisant ensuite ^ =zi o, on a t'o en fonction de y^ et y'^ ; et ainsi de suite.
On voit donc que tous les coefficients de la série (2) sont des fonctions connues des deux premiers j'o et y\. Si cette série est convergente, elle converge dans un intervalle symétrique par rapport à o, et, dans cet intervalle, elle définit une fonction de x^
(4) * r = *i'(^, ro'jo),
vérifiant l'équation et contenant les deux constantes arbitraires Ko et y„. Il peut se faire que cette série diverge; cela arriverait, par exemple, si le calcul donnait, pour une des quantités jj,, 7'^', . . ., une valeur infinie. iNous n'examinerons par les difficultés qui se présentent alors et nous nous contenterons des considérations ci-dessus, pour établir l'existence de l'intégrale générale.
Ces considérations montrent que, en général, iuk; solution f de l'équation (i) est déterminée quand on connaît les valeurs que prennent cette fonction y et sa dérivée >' pour ^= o. En regardant X %l y comme les coordonnées d'un point, <^n peut dire qu'une courbe intégrale est, en général, déterminée quand on connaît le point où elle coupe l'axe des y et le coefficient angugulairey'jj de la tangente en ce point.
ÉQUATIONS DIFFÉUKNTIELLKS DL DEUXIÈME ORDRE, h^5
Au lieu des constantes arbitraires Vq et y'^^ qui figuj'ent dans Fintégrale générale, on peut évidemment en faire figurer d'autres C, et Go, en remplaçant >'o el y'^ pixi des fonctions de deux constantes arbitraires C, et C^ :
ces expressions étant assujetties à la seule condition que l'on peut choisir G, et Go, de telle façon que )'o et )',, puissent prendre des valeurs quelconques données. L'intégrale générale (4 ) devient alors une fonction de x et des deux (constantes G, et Go :
Remarque. ■ — On pourrait, de même, par rem[)l<û de la série de Taylor, former une fonction
y=y,-\- ^ jKoH p^ JK., + • • • ,
qui vérifie l'équation et qui soit lelle que cette fonction y et sa dérivée y' prennent, pour x = .Xq, des valeurs arbitraires Kq et r',i- On calculera, par le même procédé que plus haut, les valeurs ),',, Vq, . . . que prennent les dérivées successives pour x ^= Xq el l'on vérifiera, de même, qu'elles s'expriment toutes en fonctions de )„ et)-;.
Intégrales par liculières ; intégrales singulières. — Les intégrales particulières sont celles qu'on obtient en particularisant les constantes arbitraires figurant dans Fintégrale générale. Il peu! exister d'autres solutions qu'on appelle singulières.
Exemples cV intégration par séries. — i'* Soit l'équation
Suj)posons la fonction inconnue y développée en série par la formule de Mac-Laurin :
L'équation (5) dérivée, par rapport à ^, un nombre quelconque
âgS CHAPITRE XIX.
-de fois, donne
en faisant ce = o dans ces relations, on voit que les dérivées d'ordre pair sont, pour x = o^ alternativement égales à — Vo et + Vo? les dérivées d'ordre impair h y'^ et — y''^^. On a donc
r=y„^- -ri,- — r.- 77^ ^'i-*- 7:^34 ^"^•••-
En réunissant les termes en ) „? on voit que le coefficient de )'o est
c'est-à-dire cos.r; et, en réunissant les termes en )"y, on voit que leur coefficient est
c'est-à-dire sin^. On a donc l'intégrale générale de l'équation (5)
sous la forme
y =focosx-r'y^isïnx, "N
avec deux constantes arbitraires r^ et r^- H est facile de vérifier que cette fonction y substituée dans l'équation différentielle (5) rend les deux membres identiques, quels que soient j^ et )'jj.
On arrivera au même résultat, par la méthode des coefficients indéterminés, en substituant, dans l'équation différentielle, une série de la forme
et écrivant que l'équation est identiquement vérifiée : on trouve que tous les coefficients a^, . . ., a,,^ . . . s'expriment à l'aide des deux premiers et que l'intégrale générale est
y = aocosx -4- «1 sinar, «0 et Ui désignant des constantes arbitraires.
ÉQUATIONS Dll'FÉRENTlKLLES DU DEUXIÈME ORDRE. 597
2" Soit r équation
(G) y'—.ry—y = o.
Actuellement, si l'on calcule, de proche en proche, toutes les valeurs des dérivées yj,,>'J, ... correspondant à x = o^ aucune de ces valeurs n'est infinie. On est donc conduit à penser que, dans le voisinage de j; =: o, l'intégrale générale est développable par la formule de Mac-Laurin en une série de la forme
y = ao-T- cii.v -h a2X--h. . . -t- an -T" -;
Substituons ce développement dans l'équation (6) et écrivons que, après la substitution, le coefficient de x^^ est nul; il vient
( /i -h -^ ) ( /H- 1 ) a„+2 — fian — «« = o, d'où
an
an + 2 = - — ■ — - •
Faisant successivement /i = o, i , 2, 3, . . . , on voit que cette relation donne tous les coefficients d'indices pairs, en fonction de cto :
<7o ao «0
et tous les coefficients d'indices impairs, en fonction de a^
ai rt] ai
ai= — 1 «5 = .T^ ' a- — -— r — ? ....
Donc l'expression de j- devient
t- ai[x -\- —^ -^ -— r + —-7 r- . . .
Les deux séries, entre parenthèses, sont convergentes pouitoutes les valeurs de .2* : on a donc l'intégrale générale de l'équation (6), avec deux constantes Oq et a,. On peut remarquer que
la série qui multiplie «0 est e ^ : en donnant à a„ la valeur i et à rt, la valeur o, on voit donc que l'équation admet l'intégrale
particulière e '% ce qu'il est aisé de vérifier.
'>f)S ^ CUAPITRE XIX.
