II. - CAS DE REDUCTION AU PREMIER ORDRE
So':^. Cas de réduction au premier ordre. — Nous allons indiquer trois cas dans lesquels Fintégration d'une équation diiïerentielle du deuxième ordre se ramène à Fintégration d'une équation du premier ordre, suivie d'une quadrature. On peut alors terminer Fintégration toutes les fois que l'équation différentielle du premier ordre, à laquelle on est conduit, rentre dans un des types intégrables que nous avons indiqués. Ces trois cas sont les suivants :
' i" L'équation ne contient pas r; v 2" L'équation ne contient pas :!•;
.)" L'équation est homogène en r, y', y".
3o3. Premier type : L'équation différentielle ne contient pas y. — Soit une équation différentielle de la forme
où manque )'. Dans ce cas, on prend comme fonction inconnue )' et l'on remarque que
dv'
r^'équation s'écrit alors
Elle est du premier ordre en 1'. Supposons qu'on sache intégrer cette équation et soit
y--^ oix, G)
son intégrale générale, C désignant une constante arbitraire. D'après la signification de r', on peut écrire
y^Jo{x, Odx^C.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU DEUXIEME ORDRE. Sgt)
On a ainsi l'intégrale générale de l'équation (7) avec deux constantes arbitraires G et C.
Exemple. - Soit à intégrer Féquation
(9) zx-^y^y-^-^ix^.
Gomme )' manque, on prend y' comme inconnue auxiliaire; remplaçant 7 '' par -j--, on a l'équation du premier ordre en y'
dx \ X ]
équation homogène. Pour l'intégrer, on fait
il' elle devient
3 « -h 3 a:- -—^ == ^2 ^ 2 dx
ou, en séparant les variables x ç^l z.
I dx
Décomposons la fraction rationnelle du deuxième membre en fractions simples ; nous avons
i dx dz dz
'i X z —- o. z — 1 En intégrant, on a
-(Lx — Le) = L(^ — -2) — L{z — i),
c désignant une constante. On tire de là
Comme on a posé y' = zx el que r' est égal à -^) il vient
dy
dx
On a ainsi Fintégrale générale de l'équation donnée avec deux constantes arbitraires c et d .
Il est facile d'effectuer la quadrature qui figure dans l'expression (il) de }-; il suffit de poser
— = 11^ dx = 3 cu^dii.
ce qui donne
y — 3c' / du -+- c ;
on est ainsi ramené à l'intégration d'une fraction rationnelle en u. La décomposition en fractions simples donne
u^( Il — 2) I = u^ — a'*— u^ — z<2 — Il — , .
u — I On a donc
^ ^r U^ U^ u'* lÛ U^ , 1
et, en revenant à la variable x par la formule
ÉQUATIONS DIFl lîRENTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE. Co I
Remarque. — Dans certains cas, en intégrant l'équation du premier ordre (8), il est plus commode d'exprimer x en fonction de y' et de mettre l'intégrale générale de cette équation sous la forme
(vx) x^^iy'.C),
On peut alors exprimer >- à l'aide de y' en partant de la relation
dx -^ \
qui donne, en tirant dx de (12),
où 'V désigne la dérivée de ^(,r', C) par rapport h y' . On a donc
(i3) jK= I y'\''(y', C)dy'-i-C'.
J.es équations (12) et (i3) définissent x ei y en fonction de y'', l'élimination de )' donnerait l'intégrale générale de l'équation avec les deux constantes C et C
3oi. Deuxième type : L'équation ne contient pas x. — Soit une équation différentielle du deuxième ordre de la forme
ne contenant pas x. On la ramène à une équation du premier ordre entre )' et >'.
11 suffit de remarquer que l'on peut écrire
dy ou, comme -r- = y dx
dx dy dx
L'équation devient alors ('5) F(,,y,y^) = „,
équation du premier ordre entre >' et j'.
Si l'on sait intégrer cette équation, on en lire
ou
On a alors
dx
dy , ,,
On a ainsi Fintégrale générale de l'équation donnée (i/l) avec deux constantes arbitraires G et C
Remarque . — Pratiquement, il peut arriver qu'il soit plus commode de tirer y^ en fonction de y\ de l'équation (lo); on trouve alors
Dans ce cas, on exprime aussi x en fonction de )'. Pour cela, on
part de la relation
dv ^ ,
dx ~^'
d'où l'on déduit
dx^i;;
et, en remplaçant j- par son expression (17), ,, . ^\y\ ^)dy'
