CIX

'V désignant la dérivée de ']> par rapport à )'. On a alors (.8) .=/

^'{y\Q.)dr' ^ ^^

Les deux expressions (17) et (18) donnent ^ et jk exprimés en fonction de la variable auxiliaire y'. L'élimination deJr^ entre ces deux équations, donne une relation entre x^ >', C et C : c'est l'intégrale générale de l'équation différentielle.

Exemples : Premier exemple. — On est conduit, en Mécanique, à des équations de ce type quand on cherche le mouvement

KOLATIONS DIIFÉRENTIKLLIÎS DU DEUXIÈME ORDUK. 6o3

rcctlligne d'un point sollicilé par une force dont l'intensité dépend seulement de la positio/i du point et de sa vitesse.

En effet, considérons un point M, de masse /??, qui se meut sur

Fis. 201.

un axe Ox {fi^- 201) sous l'action d'une force X, dont la valeur

est fonction de l'abscisse x du point et de sa vitesse r = — r-»

^ cit

L'équation du mouvement est alors

d^x ,. / (Ix \

é(|uatit)n différentielle du deuxième ordre dans laquelle manque la variable indépendante t. D'après la méthode générale, on ramène cette équation au premier ordre en prenant comme inconnue auxiliaire la dérivée

dx dt On a alors

d'^x dv dv dx dv

~dû- "'" 'di ~ ~dx ~dt. ~'dx '

et l'équation s'écrit

équation du premier ordre définissant r en fonction de x .

On peut remarquer qu'en chassant le dénominateur dx on peut écrire l'équation sous la forme

d —f(x, v)dx^

qui est la relation fournie par le théorème des forces vives.

Une fois c trouvé en fonction de x par l'intégral ion de cette

équation,

(' = cp(.r, G),

on a, comme r ■==-- — — dl

, dx

dt

^{x, G) ' dx

r dx

On a ainsi l'équation du mouvement avec deux constantes arbitraires qu'on détermine quand on connaît, à l'instant initial / -— /„, l'abscisse initiale Xq et la vitess3 initiale Vq du mobile.

Deuxième exemple : Courbe élastique plajie. — Cliei elions une courbe plane dans laquelle la courbure en chaque point varie proportionnellement à l'ordonnée de ce point. Cette courbe est la figure d'équilibre d'une lame élastique dont la fibre moyenne est rectiligne à l'état naturel et que Ton courbe en faisant agir sur les deux extrémités des forces et des couples.

Le rayon de courbure en un point de la courbe étant II, on doit avoir

1 zr- Z

a désignant une constante. Remplaçant R par son expression, on a l'équation du deuxième ordre

Cl'

dans laquelle manque la variable indépendante x. Remplaçant alors jk" par -^ =r.y' -^, il vient y' dy' y dy

d'où, en intégrant les deux membres.

On tire de là, en résolvant par rapport à j'.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE. 6o "

dx

R<'niplarant j' par -^ et résolvant par rapport à dx^ on a, après

intégration,

(19) x= 1 dy 4- G'.

Telle est réqiiation de la eourbe. La valeur de la eonstante C' n'inllue pas sur la forme de la courbe, car cette constante vient simplement s'ajouter à x; quand C varie, la courbe se transporte parallèlement à Ox. La constante G influe, au contraire, sur la forme de la courbe; si G- est supérieur à i, la courbe ne peut pas couper l'axe O.r, car, dans ce cas, pour j/ = o, y' est imaginaire ; si C^ est inférieur à i, la courbe coupe l'axe Ox et, aux points d'intersection, elle présente des inflexions, car, j' étant nul, ^ l'est aussi, en vertu de l'équation différentielle.

L'intégrale figurant dans l'équation (19) ne peut pas être calculée exactement par les méthodes élémentaires : on la calculera par les méthodes d'approximation.

3oo. Troisième type : L'équation est homogène en y, y, y". — Soit une équation de la forme

qui contient x d'une façon quelconque, mais qui est homogène en y, j', r 7 de telle façon que l'on ait identiquement

(21) F(;r, Xj-, ly\hy") = \''¥{x, y, y, y"),

A étant un facteur quelconque.

Dans ce cas, en désignant par z une nouvelle fonction inconnue de 07, on fera

(•2'») y^eJ , y=zeJ , y ' ::= {z -\- z"^) e-^

En substituant et supprimant le facteur e'v ''^^■, on a, pour déterminer 3, l'équation du premier ordre

cette équation donne ^ en x\ la première des relations (22) donne ensuite j' par une quadrature.

Co() CHAPITRE \IX.

Exemple. — Soit réquaùon

y y" — |-'2 — (\.vy- — o.

Par le chanoement (22) elle devient

z' — r»a- = o ; dV)ii

et