III. — ÉQUATIONS D'ORDRE QUELCONQUE

^rJG. Intégrale générale. — Soil une équation difïeientielle

d'ordre n. On démontre, par une méthode analytique analot^ue à eelle que n(jus avons suivie pour les deux jnemiers ordres, (jue cette équation admet toujours une solution jk tonction de x el de a constantes arljitraires :

Ces constantes doivent pouvoir être déterminées de telle iacon que, pour une valeur particulière de la variable j-, o par exem|)le, la fonction y et ses (n — i) premières dérivées, par rapport à .r, prennent des valeurs arbitrairement choisies.

(^ette solution (2) s'appelle P intégrale générale de Técpration.

En donnant à certaines constantes des valeurs numériques, dans l'expression (2), on obtient des solutions ou intégrales particulières.

L'équrttion difTérentielle peut admettre quelquefois d'autres solutions que l'intégrale générale et les intégrales particulières : ces solutions, quand elles existent, s'appelhmt, connue pour h; premier ordre, intégrales singulières.

357. Type d'équation réductible au premier ordre . Une équation d'ordre n est réductible au premier ordre quand elle ne con-

lÎQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE. Go"

tient ni la fonction inconnue, ni ses dérivées d'ordre i, 2, ..., (// — 2). En effet, l'équation est alors de la forme

En

posant

dx"-

on la

ramène

à la

forme

' dx

équation du premier ordre. Cette équation, étant intéj>rée, a pour

intégrale générale

Pour avoir y, on est ensuite ramené à trouver une fonction y telle que

ce qui se fera en intégrant, successivement [n — 1 ) fois par rapport à ^ et ajoutant, chaque fois, une constante arbitraire.

Exemple. — Soit à intégrer l'équation

l'équation devient

d\y dx--

* dx-^ -

d^y dx-^-

dv

équation linéaire en c. Pour l'intégrer, cherchons l'intégrale générale de l'équation sans second membre

intégrale qui est

V==Cx\

Après quoi, considérons G comme fonction de x et déterminons-le de manière à ce que la fonction

ç = Cx^

6o8 CHAPITRE XIX. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE.

vérifie réqiiaûon proposée. En remplaçant c par la valeur cidessus et en réduisant, on obtient

On a donc

r = Cx-^ = x'' + C'.r^.

l*our déterminer y en fonction de oc^ revenons à Féquation

dx^ "" ^'

nous avons

Multiplions par dx et intégrons, nous avons

d*'y X- , ^, ^■'' p dx- j 1

Multiplions par djo et intégrons :

dx jo lo

Enfin, multiplions par dx et intégrons, nous avons l'intégrale générale de l'équation (3)

"T*" '77^ 'T*^ (\) y=— 'r- C H Gi " hGoa:'-f-G3,

avec quatre constantes arbitraires C, C|, G^, C,.