Théorèmes généraux. — Posons, pour abréger
L'équation s'écrit alors
Voici quelques propriétés qui résultent immédiatement de la forme linéaire de cp {y)-
Appell. — Éléments d'Analyse, — st. 39
6lO CHAPITRE X\.
Théorème I. — Soient y une fonction quelconque de x, C une constante : on a, identiquement^
(p(GjK) = Gç(j^).
En effet,
expression qui est évidemment identique à C'f{y).
Théorème II. — Soient u et v deux fonctions quelconques de x^ on a
En effet,
o{ic + .) = a, ^^^^ +a, ^^^^^ ^,,,^an{u^ç).
Gomme la dérivée d'une somme est la somme des dérivées de ses
termes, on a
dx' ^ dx"-'^ , '
c'est-à-dire cp(?/) -|- '^(i-).
En général, quel que soit le nombre des fonctions w, , r/o, W3, • • -, Up^ on a
Cp(l<i+ lU-f-.. .-\- Up) = '^(Wi)-h ^(^2) -f-. . .H- 'i(Ujj)-
Théorème III. — Soient y t^ j'25 •••7 J/> ^^<^^ fonctions de x\ G,, Ga, . . ., G^ des constantes^ on a identiquement
?(G, ^,-4- G2jK2-i-.. .+ G/,jK/.) = Gicp(j,) + G2o( 72)+- • .+ Cpcp(^;,).
Ge théorème se vérifie immédiatement : il est une conséquence des deux -précédents. On a, en effet, d'après le théorème II,
«CGi7iH- G2JK2-H. . .-i- ^pYp) =^ «^(Giji) -h cp(C2jK2) +. . . ~C^j>>);
mais, d'après le théorème I,
cpfG,j^,) = G,cp(jK,), ?(G2rO==G2cp(r2),
et le théorème, que nous avons en vue, est démontré.
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 6x1
II. — EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES SANS SECOND MEMBRE.
Théorèmes généraux. Forme de l'intégrale générale. — L ne équation difïerentielle linéaire sans second membre,
' d'iy d"-^ y
s'écrit avec la notation précédente
cp(jK)=0.
359. Théorème I. — Soient y ^^ y ^^ ...,yp des solutions de cette équation^ c est-à-dire des fonctions de x^ telles que
"f(jKi)=o, <p(jK2) = o, ..., tp(jK;,) = o;
la fonction
Gl^l ■^- G2 J'î -h . . . + G/,7y3,
oà G,, Co, ..., G^ sont des constantes quelconques^ est encore une solution.
On a, en effet, ^
0(CiJ^l+G2r2-r-...4-Gp7p) = Gi9(ji) + G2(p(jK2)-^...+ G/,(ç(^^,),
c'est-à-dire
?(G,7i + G.^2 -h...-f-G/,jKA>) = o,
ce qui démontre le théorème.
360. Solutions distinctes. Fonctions linéairement indépendantes. — Soit r, une solution de Féquation; une deuxième solution y 2 est dite distincte de ),, si elle n'est pas de la forme kyM où k est une constante déterminée. Si les deux solutions j'< et j^a sont distinctes, une troisième solution y^ est dite distincte des deux premières, si elle n'est pas de la forme
/. , et h'2 étant des constantes. Si les trois solutions )•, , j'a, y-^ sont
6l2 CHAPITRE X\.
distinctes, une qualrlùnie ) /, est dite distincle de ces trois, quand elle n'est pas de la forme
/»!, A'a, A3 étant des constantes.
En général,»/? solutions
ji, xt, "., yp
sont dites distinctes quand la deuxième y^ est distincte de la première, la troisième j'3 des deux premières, la cpiatrième )/, des trois premières, etc.
On dit aussi, pour expr'mer le même fait, que les p solutions sont linéairement indépendantes.
Ainsi les solutions
sont distinctes ou linéairement indépendantes; il est impossible de trouver des constantes numériques, telles que Tait identiquement
' s\i\-x = ke^ ou cos^a; = A'ie-^ -h /i2sin'x.
Les solutions
j'i=cos2a7, ;'j=cos-a7, y,i-= sin^-x
ne sont pas distinctes : la deuxième est distincte de la |)remière, mais la troisième, pouvant s'exprimer en fonction linéaire et homogène des deux premières, avec des coefficients constants,
sin'^r = cos^^ — cos2^
ra = 72—71,
n'est pas distincte des deux premières.
361. Théorème II. — Iintégrale générale. — Si V on a trouvé n solutions distinctes
Xu yt, ..M yn
de Véquation différentielle^ cette équation admet Vintégrale
(2) 7 = Ci7i-+-G27j-+-...h-G„j„,
qui est Vintégrale générale.
ÉQUATIONS DIFFÉRKNTIELLES LIXÉAinKS. 6l3
En efï'el, celte intégrale contient n constantes arbitraires C,, Ci, .. ., Q,i que Ton peut déterminer par la condition que, pour une valeur particulière Xq de x^ la fonction (2) et ses [ji — i) ])remières dérivées prennent des valeurs arbitrairement choisies, ce qui caractérise l'intégrale générale (n*' 354).
Si les solutions j,, j'^, . . ., Vn n'étaient pas distinctes, l'expression (2) ne contiendrait qu'en apparence ?i constantes : par exemple, supposons que j^^ ne soit pas distincte de )', , y^^ . . .,;)'«-»; il existerait alors des constantes numériques /,■,, Ao, ..., /xn—\-) telles que
yu= l^ifi-^ kiy,-\-. ..-{- kn-iyn-i,
et l'expression (2) deviendrait
^ = ( G, + /il C,i)yi -1- (G, + /v2 Cn)y2-^...-^( G„-i 4- /Cn-i Cn )7n-i,
expression de la forme
y= Dij^i + D^j/a + •••-+- Dn-iyn-u
contenant seulement n — 1 constantes arbitraires.
On démontre, mais nous n'insisterons pas sur cette démonstration, qu'une équation différentielle linéaire n'a pas d'intégrale singulière : toutes les solutions possibles de l'équation sont données [)ar l'intégrale générale (2).
3G!2. Abaissement dé l'ordre de Téquatiou, quand une solution est connue. — De même que l'on peut abaisser le degré d'une équation algébrique, quand on en connaît une racine, de même on peut abaisser l'ordre d'une équation différentielle linéaire, sans second membre, quand on en connaît une solution. Soit, par exemple, l'équation du troisième ordre :
d'^y d^V dy
Soit u une fonction de.x, supposée connue et vérifiant l'équation, c'est-à-dire telle que
, , , d^ u d^ a du
(4) ''"^+«'Sî+'"S^"^" = "-
Olj CHAPITRE XX.
faisons alors le clianji;ement de fonction
Y étant la nouvelle fonction inconnue; il vient :
dy r/Y du
dx dx dx
d-y d- Y d\ du d'^ u
dx'^ ~~ dx- ' dx dx dx""-
d^y d^\ ^ rfn du ., d'Y d^u (Pu
dx^ dx^ dx'^ dx dx dx- dx^
Si Ton substitue dans l'équation (3), on voit qu'elle se transforme en une équation linéaire en Y, dans laquelle le coefficient de Y est le premier membre de (4), c'est-à-dire o.
On a donc, pour déterminer Y, une équation de la forme
En prenant alors pour inconnue
on est ramené à l'équation du deuxième ordre
Le théorème est donc démontré.
On voit comment^ s'exprime en fonction de \ ' : la relation (5) donne
Y= fx'dx, puis, comme on a posé j^ = «Y, on a
y =z u j Y' dx.
Donc, si Ton sait intégrer l'équation du deuxième ordre (6). on en déduira l'intégrale générale de l'équation proposée (3) par une (fuadrature.
ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINÉAIRES. 6l5
rnversement, Y' s'exprime en fonction de >' par la formule
(il,
dx
qui montre que la connaissance d'une solution de l'équation en y entraîne la connaissance d'une solution de l'équation en Y'.
Si, outre la solution y^=iii^ on connaît une autre solution v=j^, de l'équation proposée, on en déduit une solution
'" dx
de l'équation (6). On peut alors, par le même procédé, abaisser encore d'une unité l'ordre de l'équation en \'; et ainsi de suite.
Exemple. — Nous avons trouvé (319) que l'équation
d'^y dy
(7) —i—,—^^ JK — o
^^ dx^ dx -^
admet la solution
Supposons qu'on ait constaté ce fait, on peut alors abaisser l'ordre d'une unité, en posant
dy l! d\ :^\.
dx dx
Substituant dans l'équation donnée, on voit que le coefficient de Y est nul et l'on a l'équation
^ rf2 Y lLd\
qu'on réduit au premier ordre en faisant
dx
Cl 6 CHAPITRE XX.
On est donc ramené, après suppression du facteur e" , à intégrer l'équation du premier ordre
On en tire
— \- xY = o.
dx
-^77- = — X dx, LY = — -^ — h
Y'=Ce K On en déduit
Y = I Y' dx = C / e 2 clx -f- Ci, C| étant une nouvelle constante et, par suite,
jK = e~Y = Ge'2" / e~^â?:r 4- Cie~.
Telle est l'intégrale de l'équation (7).
