Méthode générale. — Considérons une équation
où les coefficients ««5 <i\i •1 <^« sont des constantes. Cette équation peut toujours être intégrée par la méthode suivante. On cherche d'abord des solutions particulières de la forme
r désignant une constante. On a
dy d^y ^ d^y
dx dx^ ' ' dx^
Donc, en substituant dans le premier membre de l'équation,
cp(e'--^) = e''^(ofo/'"-f- air«-'-i-. ..-4- a,i-vr -^ «„).
Le résultat de la substitution est donc égal à e'"-^, multiplié par un polynôme de degré n en /•, que nous appellerons •!> {r) :
d'où, sous forme abrégée,
Pour que e'-^' soit une solution de Féquation différentielle, ilfaut et il suffit que cp(e'"-^) soit nul, c'est-à-dire que r soit une racine du polynôme ^(/'). Le polynôme '^(r)^ que Ton nomme polynôme caractéristique, a, en général, n racines distinctes rt^ ;'2, . . ., r,i. A chaque racine correspond une solution e^-^ de l'équation : on a ainsi les n solutions particulières
d'où l'on déduit V intégrale générale
y = Cie'-.^+ G.e'-.^-i-. . .-4- C«e'-»^, avec n constantes arbitraires C,, Co, .... C/^.
364. Exemples : Premier exemple. — Soit à intégrer l'équation du deuxième ordre
cette équation est linéaire., à coefficients constants sans second membre : essayons de la vérifier à l'aide de la fonction
y z= e'-^\ d'où
dy d-y ^
dx dx^
On a donc, en substituant,
e;vr(,.2 4):=o;
dans cet exemple, le polynôme '}(/') est/- — \.
Pour que l'équation différentielle soit vérifiée par e''-*, il faut et il suffit qu'on ait
/'■- —1 = 0; c'est-à-dire
r = 2 ou r = — 2.
6l8 CHAPITRE XX.
On a ainsi les deux solutions
d'où l'on dédiiil rintéorale sénérale
avec deux constantes arbitraires. On peut déterminer ces constantes de telle façon que. pour x = x^^ la fonction (2) et sa dérivée -^ prennent des valeurs données à l'avance : c'est ce qu'il est aisé de vérifier.
Deuxième exemple. — Soit Téquation
Faisant
on a
e''^(rî-l-4) = o, d'où
Ti = 2 f, r^ = — 1 i.
On a donc les deux solutions
d'où l'intégrale générale
(3) jK^=Gie5'^+ GiC-Vs^-^,
avec deux constantes arbitraires Ci et G^. Cette forme de l'intégrale génénile est compliquée "d'imaginaires; on les fera disparaître en prenant, pour G, et G^, des constantes arbitraires imaginaires conjuguées. En effet, d'après l'identité d'Euler (n** 191)
e's— cos^ H- i sin 5, on a
e-'^ — cos2:r-H i sin7.r,
e-2'>=cos2a?— tsina^r; d'où, en remplaçant dans (3),
j^' = (Cl -f- Gsj 008257 -I- t(Gi — C2) sin'>.x; on prend alors G| et Go de telle façon que les coefficients de
cos •2X el siii 2x- soient des constantes arbitraires réelles A et B :
ce qui donne pour C, etC^ deux constantes imaginaires conjuguées, et l'expression de l'intégrale générale devient
^ = A cos IX -h B sin.i^,
avec deux constantes A et B.
Troisième exemple : Galvanomètre. — Dans la théorie du galvanomètre, on rencontre l'équation
OÙ a et p sont des constantes réelles, 8 un angle inconnu, t la variable indépendante. Cette équation est linéaire, à coefficients constants, sans second membre. Si nous essayons de la vérifier en prenant
nous obtenons la condition
cette équation a pour racines
Ti = — a -^ y/a'-'— [i-, r2 = — a — /a-— ^2^
et l'intégrale générale est
(4) 0 = Cie'-.^+Gsc'-.'.
Discussion. — Quand t.- — [â->o. r^ et /^ sont réels, l'intégrale générale se présente sous forme réelle.
Quand a^ — j3- est négatif, /', et r-y sont imaginaires : pour faire disparaître les imaginaires, posons
Alors
''1 = — ît -f- i Y, ^2 =^ — 3c — i Y,
e = e-a^(Gie'T^+C2e 'Y').
Remplaçant e'^^ el <?~'T' par cosy^-j-i siiiv/ et cosy/ — / siny?, on a
6 = e-a^[(GiH-.G2)cosY^-4-f(Gi— G2)sinY^];
et, en prenant pour G, et C^ des constantes imaginaires conjuguées, on a, finalement,
0 = c-^'( AcosY^ + B sinyO-
Quat}ièine exemple. — Soit enfin l'équation diff'érenticllç
Faisant
dcc^ '^==''
on a ^
équation qui a pour racines
/'l =^ 2, j-.2= — l+-fv/3, /-g = — I — fy/S.
L'équation différentielle admet donc les' trois solutions d'où l'intégrale générale
Si l'on veut faire disparaître les imaginaires, on se sert des identités
gjxv/â cos ^ v/3 -H / si n ic ^3 ,
e-ix^~i— cos;r v/3 — i sina; /3.
J^'intégrale générale prend alors la forme
y = Cie2-^-t- e-'^{\cosx\/^ -{- B sina? /3), avec trois constantes arbitraires A, B, C| .
365. Cas où le polynôme •}(/) a des racines multiples. — En appelant /•,, /-g, . . ., /'« les ?i racines du polynôme 'i>(/'), nous avons obtenu les n solutions
avec lesquelles nous avons construit l'intégrale générale de l'équation différentielle.
Si l'équation 'i>(/') ^^ o admet des racines égales, les 7i solutions
ci-dessus ne sont plus distinctes : par exemple, si /', =: / o, la deuxième soluti()ii est identique à la première.
Dans ce cas, on ne peut donc plus appliquer la méthode précédente pour former l'intégrale générale. Mais nous allons montrer comment on peut encore, dans ce cas, obtenir n solutions distinctes.
Pour cela, nous démontrerons le théorème suivant :
Si /j est une racine double de '}(/'), Inéquation différentielle admet les deux solutions <?'r* et xe''y^',
Si /'i est une racine triple de '}(/), V équation différentielle admet les trois solutions e''^^^ xe'~^^^ x-e''^^] et ainsi de suite;
Si /'i est racine d^ ordre p de '^(z), l'équation différentielle admet les p solutitais e''^'^^ xe''^^ x'-e'\-^'^ . . ., xP~^ e^^^.
La démonstration de ce théorème se déduit de la remarque suivante. Soit V une fonction de x et d'une autre variable /• qui ne figure pas dans les coefficients : en substituant v dans le premier membre '-^iy^ de l'équation différentielle, on a un certain résultat :
si, ensuite, on substitue, dans le premier membre de la même or
équation, la fonction — > on a
fôv\ \àr) \<)r) /dv\
\àrj dx'' dx"-^ \'^r/
- Ces deux expressions montrent que
ôv\ ')\(^(v)\
ârj ()r
En effet, comme on peut inteî'vertir l'ordre des dérivées partielles, on peut écrire
d r d"v rf«-ip "I
ce qui démontre l'identité (5). En appliquant deux fois de suite cette même identité, on a
et, en général,
(,)PV\ àP
' \ drP / ()rP *- ■ ^ ^ ^
Voici maintenant l'application de cette remarque au problème qui nous occupe. Prenons
d'où
dv
<Pv
— = xe>^.
dr '
Ori
On a, quels que soient a: et r, les identités
où le dernier terme de chaque ligne est la dérivée, par rapporta /'. du dernier terme de la ligne précédente.
Supposons que /', soit une racine double de ']>(/'), on a
Les deux premières des identités (6), où l'on remplaci' /• par /•<, montrent qu'alors
(p(e''i-^j = o, o{xe''i^) = o;
l'équation admet donc bien les deux solutions <?'*'*, xe'''-^ .
Supposons que /< soit racine triple, c'est-à-dire annule ']>(/') et ses deux premières dérivées :
d>(^/',)=o, •y(/'i) = o, tl/"(ri) = o. Les trois premières identités (6), où Ton remplace /" pai* /',,
montrent qu'alors
Féquation admet donc bien les trois solutions e'^'^, xe''^, x'^e'^'^. Et ainsi de suite.
En résumé, chaque racine de '}(/') donne un nombre de solutions distinctes, égal à son degré de multiplicité : on aura donc, dans tous les cas, n solutions distinctes j'^, >'2, • • • , Yw, ^ivec lesquelles on formera l'intégrale générale par la formule
366. Exemples : Premier exemple : équation du galvanoinètre. — Reprenons l'équation
faisant 9 = e'^, on a ici
Nous avons supposé, antérieurement, les deux racines de '}(/')
distinctes : supposons maintenant qu'on ait Ji- = a- ; alors ^(/') a
une racine double
dans ce cas, l'équation admet donc ies deux solutions
ou
et l'intégrale «énérale est
(8) 0 = Cie-a'H-C.^e-a^
Remarque. — C'est d'ailleurs un résultat que l'on pourrait déduire par continuité du cas général, en supposant que les deux racines, a', et /%, d'abord distinctes, tendent l'une vers l'autre. Ainsi, en posant ^^ — Q^2-y2^ nous avons trouvé (n^ 364) pour intégrale générale de l'équation (7) . ' .
0 = e-a'(AcosY^-l- BsinyOr
OÙ A el B sont des constantes arbitraires : nous pouvons remplacer B par-'» C étant une constante arbitraire; nous mettrons donc Fintéîrrale sous la forme
sin Y<\
0 = e-^M AcosY^H- G
A et G étant deux constantes arbitraires. Pour rendre les racines égales, il suffît de faire tendre v vers zéro: alors ^ — — tend vers t et l'intégrale devient
c'est bien la forme (8) que nous avons obtenue par l'application des règles générales.
Deuxième exemple. — Soit l'équation
d^y ., d-y ., dy
dx^ dx- ' dx
Faisant
on a
Le polynôme <J>(/') est donc ici (r — i)^; il admet la racine triple /' ^= T . Il en résulte les trois solutions
el l'intégrale générale
y = Cie^-hC.xe^-hCzx'^e^.
7 roisième exemple. — Soit l'équation
dx* dx-
Faisant y = e^^. on est conduit à l'équation
r* -h 2 /-^ H- I = o ou
qui admet /• = / comme racine double et /• = — / comme racine
ÉQUATIONS DIFFÉRIÎNTIELLES LINKAIRES. 6?,5
double. ïl en résiillc les quatre solutions
et l'intéi^^rale o^énérale
y =z G,e'-^+ G2are'-^-l- G;je-^"-*^-f- d^xe-^^' ou
^ = Cl e'-^ 4- G;ie-'-^-f- 37(0.2 6''^+ G4e-'-^).
Pour faire disparaître les imaginaires, on fera
e'^ = cosa: -+■ i s'incp, e-'^=coscc — isMix,
on remplacera C| et C;{ par deux constantes imaginaires conjuguées, Co et Cj également, et Ton aura l'intégrale générale
j' — /V cos:r -h B sinor -+- a7( Aicos^ -f- Bi sin^r ).
