IV. — EQUATIONS LINEAIRES AVEC SECOND MEMBRE

3']7. Théorème. — Soit une équation différentielle linéaire a^'ec second membre

ow, SOUS forme abrégée ^

si Von connaît une inté^\-ale particulière de cette équation, on peut ramener son intégration éi V intégration de la même équation sans second membre.

En effet, supposons que Ton connaisse une fonction particulière a vérifiant l'équation, c'est-à-dire telle que

prenons une nouvelle fonction inconnue Y liée i\ y par la relation

Ari'KLL. — Éléments d'Analyse. — st. 40

62G CIIAPITRK XX.

L'équation ( i) devient

cp(Y + «) = X;

9(Y-f-«) = r(Y)-r-cp(r.),

on a donc 1" équation

et, comme par hypothèse 'f («) = X, il reste

La fonction Y satisfait donc à hi même équation sans second membre. Si Ton sait intégrer cette équation (3), on trouvera, pour son intégrale générale, une expression de la forme

Y = C,Yi + G2Y2-t-...+ C„Y„. ,

En revenant à la fonction y par la formule J' = ^ -\-u^ on a alors, pour l'intégrale générale de l'équation donnée (i ),

jK = CiYi+G2Y2-4-...H-G,iY„4-«,

avec n constantes arbitraires Ci, Go, . . . , G«.

Exemple. - Soit l'équation

(4), 7te5+>' = '^

on vérifie immédiatement que la fonction

est une solution de Tc^piation. Faisant alors

on obtient, pour déterminer \ , l'équation sans second membre

dx^ • ^' = "'

dont l'intégrale générale est

Y = Cicosx -h C2sina7.

ÉQIATJOXS DIFFÉHEMIELLKS LINÉAIRES. 627

!.• intégrale générale de l'équation proposée (4) est donc

^ =z Cl cosa? -î- G^sina? H- - e^.

368. Cas particulier des équations à coefficients constants. — Quand les coefficients sont constants, on peut trouver facilement une solution particulière de l'équation, avec un second membre X, lorsque ce second membre est un polynôme par rapport à la variable indépendante .r, augmenté d'une somme d'exponentielles linéaires en x :

V(ûc) désignant un polynôme, A, B, . . . , L, a, Z>, . . . , / des constantes.

Pour le démontrer, nous examinerons d'abord deux cas simples :

i"^ Le second membre est uniquement un polynôme P(^); 2" Le second membre est une seule exponentielle Ae^-^.

369. Premier cas : Le second membre est un polynôme. — Si l'on a une équation à coefficients constants, de la forme

où le second membre est un polynôme P(^ ) de degré y>, il existe une solution particulière w, de cette équation, qui est un polynôme en ûc de degré égal ou supérieur ày>.

En effet, supposons d'abord a,i différent de zéro : si l'on substitue, dans l'équation, un polynôme u de degré y;, à coefficients indéterminés

on voit que le premier membre devient un polynôme de degré p : on identifie ce polynôme avec P(^), en déterminant convenablement ).„, A,, • . ., >v.

Si ci/i est nul, a„, étant différent de zéro, c'est un polynôme de degré y> + i qu'il faut essayer, et ainsi de suite.

6v.8 CIIAPITRK XX.

Exemple I . — Soit réquation

dx- ^

Le second membre étant un polynôme de degré 2. essayons de vérifier l'équation par un polynôme

z^ = Xo 372 4- X 1 .r -h À 2 .

Ecrivant qu'on a identiquement

dx-

on a

2A0— ( ^0-^*4- >^i^^- \i) = x^-^i, ce qui exige

Xo = — I, ^^1 = 0, À2 = — 3.

On a donc la solution particulière

if =—072— 3.

Faisant alors

jK = Y 4- zf = Y — a;^ — 3,

on est ramené à l'équation, sans second membre,

qui a pour intégrale générale

Donc la proposée a pour intégrale générale, y = Cie-^+ Ca^-^— 37^— 3.

Exemple II. — Soit l'équation

d-^ y dy dx'^ dx

On voit qu'en substituant, dans le premier membre, un polynôme du quatrième degré, le résultat serait du troisième degré seulement : substituons alors un polynôme du cinquième degré :

Il = IqX'^ -h Xi x'' -]- AzX^ -h \:iX--i-l',x -h X5 ;

en écrivant que ee polynôme vérifie idenliquement la relation

d^ Il du dx^ dx on a

5X0=1, ^1=0, GoXo •+- 3X9 = o, 24X1+2X3=0,

(JX2-I- )^4 = o; d'où

Xo= T^ Xi = o, Xs^ — 4, ^3 = 0, X4=24-

T.e coefticient ).5 peut être pris arbitrairement; comme, pour le

moment, il s'agit seulement de trouver une solution de réquation,

nous prendrons

Nous avons ainsi la solution

Faisant alors

on a, pour déterminer \, l'équation sans second membre

dx'^ dx Faisant Y = e'-^, on a à résoudre Féquation

dont les racines sont

On en conclut les trois solutions et r intégrale générale .

Y = C] 4- A eosx -h B ^\nx.

L'équation donnée en j- a donc pour intégrale générale

jK = Y -H M,

y = Ci-'r- A cosx 4- B sin^r + - x"' — .\x^ + 24^7.

(i3o CHAPITRE XX.

Remarque. — On pourrai t aussi, dans ré(jualion que nous Venons de traiter,

d'y .dy^^

prendre pour inconnue

dx~^'

on aurait alors à intégrer l'équation du deuxième ordre

d^z dx^

Une fois ;: trouvé, on en conclut y par une quadrature,

y = I 3 dx.

IMO. Deuxième cas : Le second membre est une exponentielle Ae'", où A et (( sont des constantes. - Dans ce cas, l'équation est de la forme

(5) ç(y) = Ae«^:

En général, on pourra obtenir une solution de la forme

A étant une constante à déterminer.

En effet, écrivant que u vérifie l'équation, on a

(6) Az>(e''^) = .\e«^.

^fais^ nous avons trousé, quel que soit r,

on a donc, en remplaçant /' par rt^

et la condition (6) donne

On a donc ainsi la solution

gax.

Cas cV exception. — Le calcul précédent serait en défaut, si a était une racine du polynôme '^(/'), car, dans ce cas, o{\e"^) serait nul, quel que soit ).. V oici comment on obtient alors une solution :

Si a est racine simple de '}(/'), l'équation .avec second membre admet une solution de la forme \xe^^ ;

Si a est racine double de '}(/), l'équation avec second membre admet une solution de la forme X^-e^-^;

Va si a est racine d'ordre />, l'équation avec second membre admet une solution de la forme \xPe^'^^'.

C'est ce qu'on voit immédiatement en se servant des identités établies plus haut (n° 365) :

Supposons que <:« soit racine simple de '}(/); alors '|(a) = o, '}'(«) étant différent de zéro. On a donc, en essayant de vérifier l'équation par a = A^e^-^,

Mais, d'après la deuxième des identités (- On a donc

>n obtient ainsi la solution

Xe«^4^'(

Ae«^,

â ajr.

Si a est racine double de 'i> (/•), on a

tl;(«) = o, d/'(a) =z o, ^"( « ^

essayant la soliilion

u = Xx^e''^, on a

d'où, d'après la troisième des identités (7),

on obtient ainsi la solution

Xx'-

Et ainsi de suite.

En général, si a est racine d'ordre p de '}(/'), Féquation sans second membre admet les y^ intégrales e^-^, ^e"-^, .... .^^~' e^'-^", et l'équation, avec le second membre Ae^^, admet l'intégrale

A xP

Exemple l. — Soit l'équation

dx^ dx

le polynôme •} (/*) est ici

ses racines sont 1 et 2. Le second membre contient Tcxponentielle e"^^] comme 3 n'est pas racine de ']>(/'): l'équation admet une

solution de la forme

en substituant, on trouve, après réduction,

On a donc la solution

Faisant alors

Il = - e^^\

on est ramené à l'équation sans second membre

dx^ dx '

dont l'intégrale générale est

L'intégrale générale de la proposée est donc Exemple IL — Soit l'équation

où le premier membre est le même que dans l'exemple I. Le second membre est e^ et le coefficient i de j: est racine simple de ^(/'). L'équation admet donc une solution de la forme

u = Ixe^.

C'est ce qu'on vérifiera directement : la valeur de A est

Vin -I L'intégrale générale de l'équation (8) est alors

371. Cas général où le second membre est un polynôme P(.z) suivi d'une somme d'exponentielles. - Soit maintenant une équation de la forme

(9) cp(7) = P(a:) -+- Ae«^-F Be/^-^H-. . .+ Le'-^.

Pour trouver une solution particulière u de celle équation, on détermine d'abord des fonctions ?^,, 112^ M3, ..., Up^ vérifiant les

634 C.IIAPITRIÎ XK.

relations

cp(wi) =P(.r),

On sait trouver ces fondions, d'après les deux cas précédents : Uf est un polynôme, «o. ^f^ • • • ? Hp des exponentielles multipliées ou non par des j)uissances de a: suivant que «, ^, . . .. / sont ou non des racines de '}(/').

Une fois iii . ?/>. . . . , w^, trouvées, l'équation proposée (9 ) admet la solution

Il =z Ui 4- ^/ 2 4- ... -I- u^„

On a. en effet (ir 3o7),

ç ( « ) = P (:r) + A e^-^ -f- B e^^-«^ + . . . + Le^-^,

Ayant trouvé ?c, on pose

e^t l'on est ramené à l'équation sans second membre

On fait rentier dans ce cas général le cas où le second membre renferme des termes de la forme

A e^'-^ cos [3 37 4- B é?a^ si n p jr ; en effet, en faisant

cos [B X = - (e'?-^ 4- e-'?-^ j

sin ^^ = -4(e'?'^— C'P^>,

on a les termes

A — ïB , .,,, A -f- iB , a, e(a-+-/fi)j-j Q{cf.-t?> X

composés de deux exponentielles.

Exemple. Soit l'équation

ÉQUATIONS DIFFÈlîENTlELLES LINÉAIRES. 635

Comme cosjc =r. - e'-^ -1 — e '-^^ on peut écrire

ce qui rentre bien dans le tvpe précédent. On cherche alors des

fonctions particulières «,, //o, u-^ vérifiant respectivement les trois

relations

d- ux

dx^

dUi.

dx^

d'if, dx-^

le-

On obtient une fonction w,, remplissant la première condition, en essayant un polynôme du premier degré ; on trouve ainsi

On obtieait une fonction ii^ vérifiant la deuxième relation, en remarquant que le second membre

est de la forme Ae"* , où a = i est racine simple de 'i^(/*) = r- -\- \ ; on peut donc prendre pour 112 une expression de la forme

en substituant, on trouve

'h' {a) ^'(i) 4f d'où

Pour vérifier la troisième relation, on peut, de même, prendre

—.xe-^^.

T/équation proposée (10) admet alors la solution

u — u^-\- ii2-\- it-i — nx -^ —-. x{ e^^ — e '•^) = 2X -] x &\nx.

Faisant alors

on est ramené à l'équation sans second membre »

^■^'='^ dont l'intégrale générale est

Y = Cl COS. r -+- G2sin.r.

L'intégrale générale de l'équation proposée est donc * j^ = Gicosa? -+- Cjsin^r -+- 2 37 H — x?>\nx.

372. Méthode de la variation des constantes. — Nous avons, en supposant les coefficients constants et le second membre d'une forme particulière, montré comment on peut obtenir l'intégrale générale d'une équation différentielle linéaire avec second membre.

Mais, quelle que soit la nature des coefficients et la forme du second membre, on peut établir le théorème général suivant :

Soit une équation différentielle linéaire

9(jk) = ^;

quand on connaît l'intégrale générale

Y = CijTi -f- G2JK2 + . . • H- G„y„

de l'équation sans second membre cp(^\ ) = o, on obtient, par la méthode de variation des constantes^ Vintégrcde générale de Véqaation proposée^ à V aide de quadratures.

Nous expliquerons ce théorème pour les équations du second ordre.

Soit donc une équation

(II) aQy'-^axy'-^aif ==\,

OÙ «07 ^f\i ^'i' N sont fonctions de x.

Soient )< et y.t deux solutions particulières distinctes de Féquation .SY///.S second membre.^ c'est-à-dire deux fonctions vérifiant les équations

«o/'i ^ «1 JK', -^ «2JK1 = ^^

le rapport — i{ étant pas constant, [.'intégrale générale de Téqualion sans second membre est

où C( et Co sont des constantes. ]Nous chercherons alors à vérifier l'équation proposée (i i) en posant

(i3) r = GijK,+ G2j2,

C, et Go n'étant plus des constantes mais des fonctions de x.

Comme il j a une inconnue y et que nous disposons maintenant

de deux inconnues G, et Go, nous pouvons établir une relation

entre les deux inconnues et x.

En calculant d'abord, d'après (i3), la dérivée première )-', nous

aurons

, ^ , r^ , dCx dC.2

iNous poserons

^G, dC,

Alors

Dérivant encore

Substituant les valeurs de )', ) ', ) " dans l'équation ( i i ) et tenant

compte de (la), on voit que les coefficients de G, et Go sont nuls

et l'on a

/ dCi dCi \

d'où, pour déterminer G, et Go, les deux équations du premier

1 r dÇ,\ dC-2

dcfîre en —r- et -j— :

^ d.v dx

dCi dC.

y' dx ' ^-' dx

, dCx , dCo X

^* 'd^ ~^y- 'dli ^ TTo

Ces ('qualions peuvent être résolues, car le déterminant

JK1J2— JK27i=JKï^^^.

d / fi

JK2

En les résolvant, on a

n'est pas nul, le rapport — n'étant pas constant.

J\ (x) Qlf2{jc) étant des fonctions connues. On a alors

C, = I fi(x ) dx -+- Kl