I f-îi-^) dx -h K2 ; d'où, rinléj;rale cherchée (i
(,8) y = Kiyi-hK.j'.2+fijfi(x')dx~^y^Jf.2(^)dx,
avec les deux constantes K< et Ko.
Exemple. — Soit l'équation
y" -\- y — coix. ^
L'intégrale générale de l'équation sans second uieml)re étant
Cl cosic -f- Cosin^, nous posons
y = d cosar -h (iosin x,
C| et Co ctant fonctions de x. Nous avons alors
y' = — (^isiiiic -h G2Cos.r à condition de poser
dC, dC, .
(A) — — cos.rH 7— sin:r=o.
^ ^ dx dx
On a ensuite
V = — Cl cosa? — Cl SMiiT ; — SI 1107 H ;— cosjc :
^ dx dx
ÉQUATIONS DIFFÉUENTIELLES LINÉAIRES. OiQ
d'où, en porlanl dans l'équation,
dCi . dCo
( B) ; — sin:rH 7— cos,r = col^.
^ ax dx
Ces équations du premier dei;ré (A) el ( B) donnent
dC,
—, — = — cos^,
dCo cos^ar I .
dx sina; sin^r
d'où
Cl = — sin X -+- Kl,
€2= Log tang - -f- cosj- + K2.
(^e qui donne enfin l'intéj^rale i;énérale
jj/ = Cl cosa? H- C2sin;r, y = Kicos^r + Kosin^r -h sin.r Log tang^
avee deux constantes Kj et Ko.
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES A UNE VARIABLE INDÉPENDANTE.
Problème général. — Il peut arriver, et cela se présente notamment en Mécanique, que l'on ait à intégrer un système de ti équations différentielles simultanées d'ordres divers, définissant n fonctions inconnues d'une même variable indépendante. Nous allons montrer que l'intégration d'un pareil système peut toujours se ramener à l'intégration d'une seule équation différentielle à une fonction inconnue.
Nous commencerons d'abord par quelques cas simples.
I. — DEUX ÉQUATIONS SIMULTANÉES DU PREMIER ORDRE A DEUX FONCTIONS INCONNUES.
»]73. Méthode. - Soient deux équations de la forme
définissant les deux fonctions inconnues^- et :? de la variable indépendante X.
Gn peut ramener l'intégration de ce système à l'intégration d'une équation du deuxième ordre. En effet, dérivons la première équation par rapport à x en y regardant y et z comme fonctions de x\ il vient
d-^y i)J ()F dy '^ £/f dx'^ ôx Oy dx dz dx
SYSTl'jMKS d'jÎQI ATIONS DIFFERENTIELLES SIMULTANÉES. 6\l
Si, entre les trois équations (i) et (2), on élimine 3 et -7^? on obtient une équation didérentielle du deuxième ordre,
dx ' dx^ j
définissant r en fonction de x. Soit
j = cp,(^,G„G,)
l'intégrale générale de cette équation ; cette intégrale étant supposée trouvée, on obtient également 3 en fonction de x^ C, et G2 sans aucune inlé^ration, en faisant seulement des calculs algébriques. En effet, si, dans la première des équations (i), on remplace y par son expression, on obtient une relation contenant uniquement .i\ ::, d et G2; en la résolvant par rapport à 3, on a
^ = cp,(.r, Cl, Ci), avec les deux mêmes constantes C< et Go.
374. Interprétation géométrique. ~ Si l'on regarde x^ v, j comme les coordonnées d'un point M de l'espace, on sait que le lieu des points pour lesquels >' et c sont des fonctions déterminées de :r est une courbe dans l'espace; d'autre part, les coefficients directeurs delà tangente à une courbe gauche au point (^, j', z-)
sont proportionnels à dx, dy, dz ou à i, ~-y -7-* Intégrer les
équations différentielles (1), c'est donc chercher des courbes gauches telles que la tangente au point {x, r, z) à une de ces courbes ait ses coefficients directeurs proportionnels à
1, F(.r, jK, ^), Y^{x,y,z).
L'intégration des équations (i) donne les équations de ces courbes sous forme finie
y= çi(:r, G,,G2), z = 92(37, Cl, G2),
avec deux constantes arbitraires.
Par un point donné :r„, y^, z^ de l'espace, il passe une de ces courbes, car on peut toujours déterminer G, et Go par les condi-
apim:ll. — Élcnicnts d'A>iali/sc. — st. • 41
{\\l CHAPITRE XXI.
tions que les deux équations (3) soient vérifiées quand on j remplace X, y, z par :ro,.)-«, ^o-
[Mo. Exemple. — Soit à intégrer les équations
dy dz
fix~ ~^-^ ^""^ dx
Dérivons la première par rapport à x :
d'^y dv dz\
dx- dx ax
F.ntre ces trois équations, éliminons ^ et -^; la première donne
, j dv I I
[)orlant cette expression de :: dans la deuxième, on a
dz i 3 \ dy
dx :>. 1 -1 dx
enfin, en portant cette expression de -^ dans la troisième, on a
d-y dy
dx- dx
équation du deuxième ordre en r. Cette équation s'écrit
d''- y dy
djf^ dx -^
C'est une équation linéaire, à coefficients constants, avec second membre. Elle admet la solution particulière
par la substitution
elle devient
dx- dx
équation qui admet les .deux intégrations particulières
SYSTKMES d'kQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES. 6^3
et dont rintéjîrale générale est
I /intégrale générale de l'équation en ]- est donc
V = Cl e-^ -+- Go e^-^ ■ •
Pour avoir j, il suffit de le tirer de la première équation qui donne
■2 dx 2 2
ou, en remplaçant r par son expression et réduisant,
On a ainsi les expressions générales de j et y avec deux constantes arbitraires G| et Co.
376. Application : Lignes de forces. — Imaginons une loi de force telle que, sur l'unité de masse placée en un point quelconque ^I(^^, )', ::), agisse une force F {^fig. 202) dépendant uniquement
de la position du point M. On a alors ce qu'on appelle ini champ de forces déjà considéré au Chapitre XVI; les projections X, Y, Z de la force F agissant en un point M( r, }', z) du champ sont des fonctions supposées connues des coordonnées du point
