X :=/(a", jK, .5), Y = cp(a7, J, ^), Z = ^{x, y, Z
On appelle lignes de foires les courbes telles que, en chacun (ie leurs points M, elles admettent comme tangente la force agissant en ce point. Cherchons les équations différentielles de ces lignes
Un élément dx^ dy^ dz de la courbe placé au point M doit avoir.
641 CFIAPITUE XXI.
la même direction que la foi'cc F agissant en ce point. Les projections de Félément sont donc proportionnelles à celles de la
force et Ton a
dx dy dz lî ^ ~Y ^ Y
ou
dx __ dy dz
f{x,y, z) ~~ çix.y, z) ~ ^(x^y, z)
Telles sont les équations difFérentielles des lignes de forces, lui prenant x comme variable indépendante, on peut les écrire
dy ç(x, y, z) dz 'hix.y.z)
dx Jix.y.z) dx f(x,y,z)
Ce sont Ijien des équations de la forme ( i) traitées dans le n"373. En les intégrant, on obtient les équations des lignes de forces avec deux paramétres C, et C^.
Inversement, intégrer des équations telles que (i), c'est chercher lés lignes de forces d'un champ dans lequel on a
- = \ux,y,z), —=Fi{x,y.z).
377. Autre exemple : Trajectoires orthogonales d'une famille de surfaces à un paramètre. - Soit
l'équation d'une famille de surfaces dépendant d'un paramétre à; nous supposons, pour plus de simplicité, cette équation résolue par rapport à A. Quand on fait varier A, la surface ( 'î ) change de forme et de position de telle façon qu'il passe une de ces surfaces par un point quelconque de l'espace x^),y^^^ ^o, choisi dans la portion de l'espace où la fonction f {x, y^ z) existe. En effet, on peut toujours déterminer ). de façon que l'équation (4) soit vérifiée quand on v fait x ^==- Xq^ y = l'o? ^ = ^o-
Nous voulons trouver les courbes qui coupent ces surfaces à angle droit, c'est-à-dire les courbes telles que la tangente en chacun de leurs points M(^. )% z) coïncide avec la normale à celle des surfaces (4) qui passe par ce point.
svsTÈMiis d'Équations DiFFÉRi£NriELLi:s simultanées. 045
Les équations de la langente à une courbe sont
dx dy dz '
celles de la normale au même point r, y. z à la surface (4 ) sont X — X Y — y Z — ^
ôx oy
ôz
levant coïncider.
on a 1(
dx dy
dz
'1L~ 'iL~
ôx dy
Oz
qui sont les équations difterentieiles des courbes cherchées.
/- àf àf Ôf r • j
Comme -f-> -^> ~ sont connus en lonction de x. ]\ z. ces equa-
âx dy ôz . ' 1
lions, où l'on prend x comme variable indépendante, sont, de la forme (i ).
En les intégrant, on obtient les équations des trajectoires orthogonales demandées avec deux constantes arbitraires G, et C^.
On peut remarquer cpie ces courbes sont les lignes de forces correspondant à une loi de force F dont les projections seraient
ÔX dy ^ ôz
On dit alors que la force F dérUa dhme fonction des forces
f {x^ y^ z) ; les surfaces
fix.y, z) = \
s'appellent les surfaces de niveau.
Exemple. — Trouver les trajectoires orthogonales des parabo-
loïdes
xy .
où A est un paramètre variable.
Les courbes cherchées ont pour équations différentielles
dx dy dz
