Intégration par parties. — Soient u et c deux fonctions
de x^ on a
Il dç -^ i> du — d( uv ),
d'où, en prenant les intégrales indéfinies des deux membres,
/ U dv -r- / <' du = UV -r- Qa
ou encore
I u dv — uv — j V du,
où il est inutile d'écrire explicitement une constante arbitraire dans un des membres, car chaque intégrale indétînie n'est déterminée qu'à une constante près.
Quand on peut mettre une différentielle donnée sous forme u dv^ on voit que la relation ci-dessus permet de ramener la
recherche dejudv à celle de / ç du qui peut être j)lus simple.
On a ainsi ce qu'on appelle la formule d'intégration par parties.
Exemple I. — Soit
/ xLx dx;
cette intéi^rale est de la forme / a dv si l'on fait
on a donc
/ x^^x dx ~ -x^\jX — - / x^ d\j:
La deuxième intégrale est
Donc
r .dx r , I I x^ — = I X dx = -x^-^ ( J ^ J 'i
Lx dx =^ - x^\.x — -x^-{- C.
arc siniP dx;
Exemple IL — Soit de même
si Ton applique la formule précédente en faisant Il = arc sina:, ç =^ x,
on voit que cette intégrale est
/' X dx ■> v/i-:r2
ou
.2^ arc si 11 07 H /(i — x~) '^ d{\ — x'^),
ou enfin
37 arc si n^ -h y/ 1 — x^ -\- C Exemple III. — Soit à calculer l'intégrale
y. dx.
où a et a sont des constantes.
Nous appliquerons la formule d'intégration par parties, en faisant -
M = y/ a 37 '-î H- a, p = ar.
Nous aurons
/\/ax'^ H- a dx = x sj ax'^ -+- a — / - dx.
J \/ax^^ a
Dans la deuxième intégrale, remplaçons ax- par r/^- -h a — a, nous aurons identiquement
\Jax'^-\-'x \Jax--{-'x
d'où
/s/ax'^ -i- 7. dx = X \^^ax- -\- y. — / \/ ax'- -f- a dx + a / - •y J \l a x'^ -t- a
En faisant passer l'intégrale i \Jax--^ (xdx dans le premiei membre et en divisant par 2, on a enfin
dx
1 \/« x^ + a rt'a:' = - ;r \J a x"*- ^ a. -^ — / , ■
L'intégrale demandée est ainsi ramenée à l'intégrale
dx
X^-hOL
qui rentre dans les types du paragraphe III du 11° 29 suivant le
signe de a.
Remarque. — L'intégrale
/ \/a x^-h bx -i- c dx
se ramène immédiatement à la précédente. Il suffit pour cela de décomposer en carrés le trinôme placé sous le radical
ax^-{-ox^c = (i[op-\
L'intégrale s'écrit alors
et en posant
ia 4 a
elle devient
qui est précisément du type de l'exemple III.
