II. — APPLICATIONS. - EVALUATION DE QUELQUES AIRES

32. i*" Segment d'hyperbole équilatère compris entre l'hyperbole et son asymptote. — Soit l'hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes,

calculons Faire A comprise entre une ordonnée (ixe Mo Po d'ab-

Fig. .6.

Mo A

ce

scisse positive a, et une ordonnée variable 'MP d'abscisse positive X, On a trouvé, en général.

dPs.= y dx.

Gomme, actuellement.

dx dt\= — ,

d'où, puisque x est positif.

On détermine la constante en remarquant que Vaire s^annule quand x est égal à a] on a donc

Donc enfin

o = La -H C, C= — La.

56 CHAPITRE m.

Si l'on suppose rt = i , on a, en particulier,

A = La:. <

On a donc ainsi nne représentation graphique simple du logarithme népérien, qu'on appelle pour cette raison logarithme hyperbolique.

Quand le point P s'éloigne, x augmente, l'aire A augmente, et, quand x augmente indéfiniment, A devient infinie.

Dans d'autres cas, l'aire comprise entre une courbe et une asymptote peut être finie; c'est ce qu'on verra dans l'exemple suivant :

2^ Courbe >- = — • — Cette courbe a, dans l'angle j' 0.2^, la même

forme générale que l'hyperbole précédente {fig- i6); elle se rapproche plus rapidement de Ox. L'aire A du segment P^MoMP a pour dilTérentielle

doc dk = y dx = — - = iT 2 cix.

En intégrant, on a

l'expression de l'aire devant s'annider pour x = r/, on a

d'où

Quand x croît indéfiniment, l'aire du segment tend vers la limite - ; l'aire comprise entre M^Poi la courbe et l'asymptote Ox est donc finie.