Y X — XV

car ici

Ei»alant chacun des deux premiers rapports au dernier, on a les deux é(juations

X dx -h z dz = o, y dy -\- z dz = i>,

qui s'intègrent immédiatement et donnent

On.a ainsi les équations des courbes cherchées, avec les deux constantes C< et Co- On voit que ces courbes peuvent être regardées comme l'intersection d'un cylindre de révolution, de rayon quelconque, autour de O )',

x'^^z'^^Cu

avec un cylindre de révolution autour de Ox^

II. - SYSTEME DE n EQUATIONS SIMULTANEES DU PREMIER ORDRE A n FONCTIONS INCONNUES:

378. Méthode générale. — Soient // équations simultanées du premier ordre

définissant n inconnues yt , j'o, . . . , j'„ en fonction de x.

Nous allons voir que les intégrales générales de ce système sont

de la forme

JKi = 9i {or, Cl, Ci, ..., C„>

y 2 = ?2 ("^5 Cl, Ci, . . . , G/i),

r«= ?"^-^, Cl, G,, ..., Cn),

avec /i constantes arbitraires C,, C^, . . ., C„.

SYSTÈMES d'Équations DiFFÉntNTiELLES simultanées. 647

Pour cela, nous montrerons que l'intégration du système (5) se ramène à l'intégration d'une équation différentielle d'ordre /z, suivie d'opérations algébriques.

En effet, dérivons la première équation par rapport à x, en nous rappelant que y^. y-i^ .... Vn sont fonctions de x. Il vient

dx'^ dv dfi dx ' ' ' dy,i dx '

si, dans cette équation, on remplace les dérivées ~-> -^ ^ ••i -^r—

d- Yi du deuxième membre par leurs valeurs (5), on a, pour -7— > une

expression contenant uniquement .r, y,^ V27 • • • ? Xn •

Dérivant de nouveau cette équation par rapport à x^ il vient

d^yx àQf^ ()^i dyy (^Go dya

dx^ ()x àyi dx ' ' ' <)yn dx

et, en remplaçant -y- > -^ , • ••, -7-^ par leurs valeurs (5), on a

—^ =G-i(x,yuy2, ■••,yn)- On continue ainsi, de proche en proche, jusqu'à '

-^ =Gn{x,yi,y,, ...,yn).

On a ainsi le Tableau suivant :

/• dyy dx d'^y

dx ^ ^^ ^"^' •^'''^-' ■"' *^'''*'

Giix,yuy-i. •■', 7n),

-^ = Gn(x,yi,y„ ...,yn)^

Si, entre ces 7/ équations, on élimine les n — i inconnues y^^

6^8 CHAPITRE X\l.

)^;), . . . , Yni on obtient une relation de la forme

C'est là une équation différentielle d'ordre /i, définissant j', en fonction de x. En la supposant intégrée, on en tire

j^i = oi{x, Gj, G2, .. . , G„)-

Les (n — i) premières relations (7 ), dans lesquelles on remplace )', par cette expression, forment alors un système de n — 1 équations À /i — 1 inconnues j'o, j'u, . . . , y„ : la résolution de ces équations donne, par des calculs algébriques, san^ intégration nouvelle, j)'2, j^3, ..., yn en fonction de x et des n constantes C|, Go, ..., Ga-

Le système est ainsi intégré.

Remarque. — Il peut arriver, dans certains cas particuliers, que l'une des fonctions J'i, J'o, . . ., )„ vérifie une équation différentielle d'ordre moindre que /i] il figurera alors, dans l'expression de cette fonction particulière, moins de n constantes : mais il en iigurera d'autres dans les expressions de y^, Vg, . . ., y„, de façon à compléter le nombre /i de constantes arbitraires. En effet, on peut démontrer comme il suit que, dans tous les cas, il existe un système de fonctions j^^ , y^, . . . , )« de ./', véribant le système (5) et contenant, en tout, n constantes arbitraires.

379. Intégration par séries. — Reprenons • le système (5) et cherchons à l'intégrer par des séries de Mac-Laurin :

f yn =^ (yn )o + ( r'n )o ^ "H ( fn )'» 7^ "^ * " • '

OÙ ( rj)o5 {y\)oi {y'\)oi • • • ^^^^^ ^^^ valeurs que prennent j)^< et ses dérivées successives pour jc = o, etc.

Nous allons montrer que les coefiicients de ces séries sont des fonctions de n constantes arbitraires (j»)o7 (^2)0^ • • •? (y«)o- ^^

SYSTÈMES d'Équations différentielles simultanées. 649

suffit de le montrer pourri; le raisonnement est le même pour les autres fonctions. Or, tV après le calcul du numéro précédent, les

dérivées successives -^ , —^ , • • • sont des fonctions connues de dx cix-

^,y<,y27 • • -7^/0 et ce calcul peut être prolongé, de proche en proche, jusqu'à une dérivée d'ordre quelconcjue de y^. SI, dans ces expressions des dérivées successives de y^ , prolongées indéfiniment, on fait ^ = o, r,^= (^1)05 ^"2= (72)0^ • • • • J'//.= (j/Oo? on voit que toutes ces dérivées deviennent fonctions de (yi )o7

Les coefficients de la série, donnant j^,, sont donc fonctions des n constantes arbitraires (j'ijo? (^'2)0? . . •? (j'/^^o; ceux des autres séries sont fonctions des mêmes constantes. Si donc ces séries sont convergentes, elles définissent un système de fonctions vérifiant les équations et contenant n constantes arbitraires.

Ce raisonnement montre que, en général, les fonctions )-,, )'o, . . . , yn, vérifiant les relations (5), sont déterminées quand on se donne les valeurs

(ri)o, (r^^o, ..-, (r/2)o,

qu'elles doivent prendre, pour une valeur déterminée ^ = o de la variable.

On démontrerait, de même, en prenant des séries de Taylor procédant suivant les puissances de x — x^^ que les intégrales des équations (5) sont déterminées, quand on connaît les valeurs qu'elles prennent pour x = x^^,

380. Intégrales premières. — On appelle intê ivraie première d'un système d'équatious

^^ ^nU.yuy,. ,,.,yn).

une équation entre la variable indépendante ^,lcs fonctions inconnues J^i, Jo, . . ., r„ et une constanle arbitraire^ qui se trouve

65o CHAPITRE XXI.

satisfaite, en vertu des équations (.V). quelles que soient les valeurs initiales (yi)o-, (^2)07 ••,•7 (jV'«)o ({^^^ l'^^i^ donne aux fonctions inconnues pour jc = x^^.

Une intégrale première est donc une relation de la forme

*(^5 Vl, yi^ . . . , Jn, G ) = O.

On peut toujours imaginer cette équation résolue par rapport à la constante arbitraire G et l'écrire

(9) /(^, JKl, JK2. ...,7;^) = G.

Voici comment on peut vérifier immédiatement qu'une équation telle que (9) est une intégrale première. Pour que la fonction / reste constante en vertu des équations (5 ), il faut et il suffit que sa dérivée par rapport à ./' soit nulle :

par leurs expres-

Cette dernière condition ne contient alors que x, y^^ y^^ .-., y,i ' elle doit être vérifiée par tous les systèmes de fonctions satisfaisant aux équations ( 5 ) ; mais comme, dans l'intégration de ces équations, on peut, pour une valeur arbitraire Xq donnée à .r, prendre, pour j^, , j)'o, ...^y,f, des valeurs également arbitraires (y^)o^ (j'l»)o" •••' (y«)o« cette condition (10) doit être satisfaite quelles que soient les valeurs données à x^yi.y-2. ...,yn] elle doit être satisfaite idcnliqucnient .

Exemple. — Les équations

dyx

df df dy, ùf dy.^ dx ()yi dx ày2 dx

()y,i dx

ou, en remplaçant les dérivées -—■ , ' ^ ^ dx

dv.2

dx^ •••' P^

sions (5)

^ ^ ùx <)y, <)y^

àyn

d.rz

SYSTÈMES d'Équations différentielles simultanées. 65 i

admettent rintégrale première

En effet, différentianl cette relation, on doit avoir

dVi dvi ^ dy:i dx dx dx

ou. en remplaçant ces dérivées par leurs expressions (i i),

r:i-73 + J:3—Ji 4-7,— 72=0

ce qui a lieu identiquement.

De même.

est une autre intégrale première de ces équations différentielles.

881. Usage des intégrales premières. — Deux intégrales premières

i/i(^,ri,7-2, ...,7„) = C,,

) /2(-2?, Jl, J2, • • . , Yll) = C2

sont dites dislincfrs quand /^ n'est pas une fonction de f^ : autrement, il est évident que les deux relations (12) se réduiraient à une seule. Il est clair, par exemple, qu'écrire

/i=Gi, puis

fl = (^^ ou

sin/i = C3,

c'est exprimer un seul et même fait, à savoir que/i reste constant. Les deux intégrales premières (12) étant supposées distinctes, une troisième intégrale première.

fz{jc, y^,yi, ..., jK«) = C3,

est dite distincte des deux premières quand /j n'est pas une fonction de/, et/o; et ainsi de suite.

Ainsi, clans l'exemple précédent,

i ri H-r2^r3 = Gi,

sont deux intégrales premières distinctes. La relation

yi r2 -^ r-2 73 -^ r^ ri = G3

est aussi une intégrale première des équations (i i), comme il est aisé de le vérifier; mais elle 7i''est pas (Usiincle des deux précédentes, car on a identiquement

70^2^7273 -^70-1= -[(71-^^2-^ V3)2— (7f4-jKi-f-.rl)]: donc le fait que

yiy-i-^yiy^-^y-iyx

est constant résulte des deux relations (i3).

Picvenons au cas général. Si Ton connaît une intégrale première

(i4) /i(-^^7i'72, ..., r«) =- Cl

des équations différentielles (5), on peut simplifier l'intégration du système en diminuant d'une unité le nombre des fonctions inconnues. En effet, on peut, de cette relation ( i4), tirer yn en fonction de ^,JKi,y-*7 • • •- y'n-'i^ Va^x et C, ; en portant cette expression de yn dans les {n — i ) premières é([uations différentielles, on les transforme en un système de /i — ^ i équations simultanées h n — I inconnues J'i , jKi>. . . ., yu-K-

Si l'on connaît deux intégrales premières distinctes

/l<'-2', JKb72, •••, JK„) = G,,

/2(^, rivjKo, ..-. yn) = Co,

on peut en tirer y„, ety„ en fonction de x, y,, >'o, .... r//-^, ^i et Co. En portant ces expressions de y,i-\ et y,i dans les n — 2 premières équations différentielles (5), on les transforme en iiii système de n — 2 équations simultanées à /? - •>, fonctions inconnues j'i.y^, • • •' y,i-2-

Yx ainsi de suite. La connaissance de chaque intégrale première nouvelle sert à abaisser d'une unité le nombre des fonctions inconnues.

SYSTÈMES d'Équations différentielles simultanées. 653

Si Fon connaîl n intégrales premières distincles des éqiialions (5),

le système est intégré : de ces /i relations (i 5) on tireraj'i, y-2^ .... ^'ii en fonction de jc et de V^ constantes arbitraires C,. C^, .... Ca- Par exemple, pour le système

(lO

nous- avons trt)u\è deux intégrales premières

dx

dy-i dx

= y-s-yi

dy%

dx