Cl — JKi
d'où l'on conclut facilement
(72 — 73'-= 2(G, — jk]) — (Gl--Jrl,)et
72 — 7-3 = V->- C2 — Cf -+- :i Ciji — 3j| . Portant dans la première équation, on a
-^ =\/'iC2-,^'i-^-iGiyi—'^y'i,
J \/?.G2—Cj-\-iGiyi—3y'i Cette dernière quadrature s'effectue facilement à l'aide d'un arc
654 CHAPITRK XXI.
sinus : on a alors >-, en fonction de ^. C,, Cj. C3, et, en remontant onajo etj'3.
III. — EQUATIONS SIMULTANÉES D'ORDRE QUELCONQUE. RÉDUCTION A UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE.
382. Méthode générale. - Si Ton a à intégrer un système de n équations simultanées d'ordres divers, à // fonctions inconnues, on le ramène à un système d'équations du premier ordre, à un nombre plus grand de fonctions inconnues, en prenant pour inconnues auxiliaires les dérivées successives des fonctions inconnues primitives.
J'exempte tiré de la Mécanique. Considérons un point matériel li{>re de masse m et de coordonnées .r.j^, -i^ soumis à une force V dépendant du temps ^, de la position du mobile et de sa vitesse. On sait que les équations du mouvement sont
ni
dt^
dt'
dt^
X, \ , z désignant les projections delà force. Ces projections sont
dx dy dz ~di^ 'di' ~di
des fonctions données de ^, x^ y,z,-r^ -^ ? --^' Les équations du
louvement sont donc de la forme
. ( ^ dx dy dz
I ^ , ( ^ dx dy dz
z ( dx dy dz
Elles constituent un système de trois équations du deuxième ordre à trois fonctions inconnues x, y, z de la variable indépendante t.
Pour les ramener à un système d'équations du premier ordre, prenons, comme fonctions inconnues auxiliaires, les dérivées de X. y, ^, en posant
dx , dy , dz
rî7~^' 777"-^' ~dt " ^ '
SYSTÈMES d'Équations différentielles simultanées. 055
On a, alors, le système
dt
1 dy l dt
\ dz
dt
dx j. . , , .
dy' , r r ,,
dz' , , , , , .
formé de six équations du premier ordre, définissant les six fonctions inconnues x, y, -G, x\ y'^ z\ en fonction de t. Les intégrales générales de ce système sont déterminées, quand on connaît les valeurs ^0? >'o 5 ^o? ^'o- J'o? -^ô ^^^ ^^^ fonctions inconnues, pour / zz= Iq. Gela veut dire, au point de vue mécanique, que le mouvement du point est déterminé, quand on connaît les coordonnées Xo^ y'o^ ^0 du point, à un instant initial /„, et les projections x\-^, yjj, z[^ de sa vitesse, au même instant.
Dans cet exemple, une intégrale première est une relation de la
forme
entre la variable indépendante / et les six fonctions, c'est-à-dire entre /, les coordonnées du point et les projections de la vitesse. La connaissance d'une intégrale première permet de ramener Finlégration du système (i^) à celle d'un système de cinq équations du premier ordre à cinq inconnues; chaque nouvelle intégrale première permet d'effectuer un abaissement d'une unité dans le nombre des inconnues.
On donne, en Dynamique, des théorèmes généraux, tels que le théorème des forces vives, le théorème des aires, etc., qui permettent, dans certains cas, d'obtenir des intégrales premières.
QUELQUES EXEMPLES D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE.
