Forme générale. Soient z une fonction des deux va
riables indépendantes x et )', p et q les dérivées premières de z par rapport à x et y respectivement; on appelle équation aux clcfLvées partielles du premier ordi'e, à deux variables indépendantes^ une écfuation de la forme
Intégrer cette équation, c'est trouver toutes les fonctions z àe x et y qui la vérifient.
En considérant x, y^ z comme les coordonnées d'un point dans l'espace, toute relation entre x^ y. z définit une surface, et Ton peut dire Cju'il s'agit de trouver toutes les surfaces vérifiant la condition (i). On appelle ces surfaces les surfaces intégrales.
La différence essentielle, qui sépare l'intégration des équaticms aux dérivées partielles de l'intégration des équations différentielles à une variable indépendante, est (|ue l'intégrale générale d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre contient une fonction arbitraire, tandis que l'intégrale générale d'une équation différentielle du premier ordre, à une variable indépendante, contient une constante arbitraire. Cette fonction arbitraire doit être telle qu'on puisse en disposer de façon à faire passer la surface intégrale par une courbe donnée à l'avance.
Par exemple, l'équation
admet comme intégrale générale
EXEMPLES d'Équations aux. dékivées partielt.is. 657
o étant une fonction arbitraire : toute surface définie par une relation entre z el x — ^ j' est une surface intégrale; par exemple on peut prendre
En effet, si Ton prend la surface
on en conclut.
d où
quelle que soit la nature de la fonction 9. Les surfaces
sont des cylindres dont les génératrices sont parallèles à la droite
On peut déterminer la fonction cd, de façon que la surface intégrale (2) passe par une courbe quelconque donnée D. Il suffît, pour cela, de former Féquation du cylindre, ayant pour directrice la courbe D et ayant ses génératrices parallèles à la droite (3).
I. — EXEMPLES DE FORMATION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE.
384. Objet du paragraphe. — Nous avons vu que, étant donnée^ une famille de courbes planes dont l'équation dépend d'une constante arbitraire, l'ordonnée d'un point d'une de ces courbes, considérée comme fonction de l'abscisse, vérifie une équation différentielle du premier ordre (n"* 331). Nous allons montrer, par des exemples, que. étant donnée une famille de surfaces dont l'équation dépend d'une fonction arbitraire, le z d'un point d'une de ces surfaces, considéré comme fonction des deux autres coordonnées, X et y, vérifie une équation aux dérivées partielles du premier ordre.
appi;ll. — Eli'incnts d'Analyse. — .sr. 42
Nous allons traiter successivemenl, à ce point de vue, les su faces cylindriques, les surfaces coniques, les surfacestdc rév< lution.
38o. Équation aux dérivées partielles des surfaces cylindriques. — On sait qu'un cylindre est engendré par une droite G, parallèle à une direction fixe OG', s'appujant sur une directrice donnée 1)
i^fig' 2o3). Soient
— " abc ou
j az — c;r = o,
\ b z — cy = o
les équations de la droite OG' à laquelle les génératrices restent parallèles. Les équations d'une génératrice sont de la forme
az — c X = G 1 , bz —cyz= C,,
C, et C2 désignant deux constantes arbitraires. En faisant varier C| et C2 d'une manière quelconque, on ariiverait à faire passer la
Fi?. 3o3.
droite G par un point quelconque de Tespace. Mais il faut exprimer que cette droite G s'appuie sur une directrice donnée D : cette condition se traduit analjtiquement par une relation entre les deux constantes arbitraires :
Pour avoir l'équation du cylindre, il faut cliercher le lieu des droites (G) dont les coefficients G, et Go vérifient la condition (4). L'équation du cylindre s'obtient alors en éliminant C) et G2 entre
EXEMPLES l) EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. ' GotJ
les équations de la génératrice G et l'équation de condition (^). On obtient ainsi Téquation
(3) F(az — cx.bz — cy) = o
qui est V équation générale des cylindres^ dont les génératrices ont la direction donnée. Pour obtenir tous ces cylindres il suffit de taire varier la forme de la fonction F; on peut donc dire que l'équation générale des cylindres est (5), F étant une fonction arbitraire.
Nous allons montrer que toutes ces surfaces cylindriques satisfont à une même équation aux dérivées partielles, indépendante de la fonction F. On sait que, si une surface a pour équation
les dérivées partielles p et q de :: par rapport à oc ely sont données
par les deux relations
dF ÔF
obtenues en dérivant successivement par rapport à x et y, et
regardant :; comme fonction de x et y. Posons, pour simplifier
l'écriture,
az — ex = u, bz — cy = ^>,
l'équation des cylindres devient
La fonction F (m, c), dépendant de ^, k, 3 par l'intermédiaire de u et r, a pour dérivées partielles
,)F dF
dF
