IH

' <)a ây ~ JF àF , dF <)z Ou dv

Les valeurs àe p el q sont donc données par

dF / dF dF\

ou \ du ()v I '

dF I dF , dF \

CSO CilAPITHE XKII.

OU, en ordonnant par rapnort a -;— et -r-,

^ ^ (fil ov

dv ^. ^<;f

y-ibq — c) -T-

aq \-{bq — c) -r- = o.

Entre ces deux dernières équations, on peut éliminer le rapport

de -T— à -r-> et Ton obtient la relation () a ov

{ap — c){bq — c) — abpq = o ou

(G) ap -\-bq = c.

Telle est l'équation aux dérivées partielles des cylindres.

Interprétation géométrique. — Cette équation exprime une propriété du plan tangent qui est évidente géométriquement. Elle exprime que le plan tangent en un point M de la surface (^fig- 20.H) contient la génératrice MG, passant par ce point, ou encore, ce qui revient au même, que la normale en M à la surface est perpendiculaire à la génératrice MCI du point M : en effet, les cosinus directeurs de la normale étant proportionnels à /», ^, — i et ceux de la génératrice à «, ^, c, la condition de perpendicularité de ces deux directions donne l'équation

ap -\- bq = c.

386. Équation aux dérivées partielles des surfaces coniques. — Une surface conique, ayant son sommet à l'origine, est engendrée par une droite mobile G, passant par O {fig- 2o4 ) : les équations de cette génératrice sont de la forme

G, et C2 désignant deux constantes arbitraires. Pour engendrer un cône, il faut assujettir cette génératrice G à s'ap|)uyer sur une directrice D, ce qui s'exprime analytiquement par une équation de condition entre G, et Go

EXEMPLES d'Équations aux dérivées partielles. 66 i

Pour obtenir l'équation du cône, il suffit d'éliiniiier C, et Go entre les équations ((i) de la génératrice et l'équation de condi-

tion (7). On a ainsi, pour l'équation générale des cônes de sommet O,

F désignant une. fonction arbitraire. Posons

z Il = - ,

la fonction F ( -> -1 prend la forme F(f^, »), et ses dérivées par tielles, par rapport à x et y, sont données par les formules

dx ()u x- ()y ()v j^

JF dF I ^ i

()z au X ()v y

l^es équations |-jy— = 0, |-(jr — = 0, qui donnent p

et q^ deviennent donc

ùV z

dV I d\^ I

du x^ ^ \du X àv y

dP I d¥ I

ou, en ordonnant,

Ov j2 " \du X àv y

xdu\ X / y (i^ '

X au^ y (iv \ y )

R rnnnnrt rlp

à a ai

Entre ces deux équations, éliminons le rapport de y- à y;-» nous

avons

■pq = o

(8) ■ px-^qy=z.

Telle est l'équation aux dérivées partielles des surfaces coniques ajant leur sommet en O.

Interprétation géométrique. — Cette équation exprime que le plan tangent, en M, à la surface, contient la génératrice G passant par ce point, ou encore, ce qui revient au même, que la normale en M à la surface est perpendiculaire à la génératrice OM(i du point M. En effet, les cosinus directeurs de la normale sont proportionnels à/?, ^, — i; ceux de la génératrice OMG à x^y^^ z] la condition de perpendicularité

px -+- qy — s = o donne l'équation (8).

387. Équation aux dérivées partielles des surfaces de révolution. — Une surface de révolution autour de O^ est engendrée par un cercle G {fig- 2o5), dont le centre est sur Taxe et le plan perpendiculaire à l'axe: cette courbe génératrice a pour équations

G, et G2 désignant deux constantes arbitraires. Pour que le cercle engendre une surface, il faut l'assujettir à s'appujer sur une courbe directrice donnée D. Analjtiquement, ce fait s'exprime par une

relation

F(Gi, C2)=o.

On obtient alors l'équation générale des surfaces de révolution, en éliminant G, et Gj entre cette équation de condition et les équations (G) de la génératrice. On obtient ainsi

où 1' esl une fonction arbitraire.

EXEMPLES d'Équations aux dérivées partielles. 663

Si l'on pose X'-i-y-=z u^ on voit que F (::;, u) dépend de x et / par l'intermédiaire de a et l'on a

— = IX —ox du

ày

Les dérivées partielles/? et g sont donc données par les relation:

iy ~ V- q—- = o;

-^ <)u ^ dz

ri OU, en éliminant le rapport de -7- a -r-j

^ ' (IZ <)ll

(9) py — qx = o.

Telle est l'équation aux dérivées partielles des surfaces de révolution autour de O3.

Interprétation géométrique. — Cette équation exprime que le [)lan tangent, en M, à la surface contient la tangente MA à la courbe génératrice passant par ce point, ce qui esl évident géométriquement ou, ce qui revient au même, que la normale en M à la surface est normale au cercle générateur MO passant par ce point. En effet, la tangente au cercle G

en un point M {x, j', z), a pour paramètres directeurs dx^ dy^ dz des (piantilés vérifiant les deux équations

, dx dy

dz = o, ^ — = — ^ .

En écrivant que cette tangente est perpendiculaire à la normale de coefficients directeurs /?, ^, — i , on a la condition

py — qx=o.

388. Généralisation des résultats précédents. — Soient ?/ et i' deux fonctions données de x^ y^ z] les équations

définissent une famille de courbes (G), à deux paramètres C, etCi. Regardons ces courbes comme les génératrices d'une famille de surfaces. Pour engendrer une des surfaces de cette famille, il faut assujettir la génératrice à s'appuyer sur une courbe directrice donnée D.

Celte condition géométrique se traduit analjtiquement par une relation de condition

(lo) F(G,,G2) = o,

entre les arbitraires C, et Cj. L'équation de la surface engendrée par les courbes (G), sous la condition (lo), est alorjs

où F est une fonction arbitraire, qu'on peut faire varier à volonté en modifiant la directrice D.

On peut alors former une équation aux dérivées partielles indépendante de la forme de F. En efl^et, on a ici

ÔF

ÔF ()u ÔF <)v ()u ôx ôv t)x

ÔF du ÔF ôç

()u ôy ôv ()y

ôz

ÔF ou ÔF ôv ou ôz ôv ôz

car I" dépend de ^, >', 5, par Finlermédiairc de ?/, r. Les équations

ôF ÔF ÔF ÔF

ôx ôz ôy ^ ôz

EXEMPLES d'Équations aux dérivées partielles. 665

sont donc, en ordonnant par rapport a — e"

ô¥ l<)u du\ ()F l ôv <h\

Tu\ô^'^PTz)-^-^\J^-^Pô-z) = '''

dF /du du\ ô¥ fdv ih\

^ (.7^ ^ ^ djj-^ ^ i;^; +^^ jij = "'

d ou, en éliminant -— et ^-j

' du ()v

/du du\ / ()v ()v\

/ <)v ()v\ / <)u ôu\

au ()v dv ()u\ ()z ()y <)z <)y )

du âv dv du\ du dv dx dz dx dzj dy dx

dv du

dy dx

Telle est l'équation aux dérivées partielles des surfaces considérées. Cette équation est linéaire en/>et q.

Interprétation géométrique. — On vérifiera que cette équation exprime qu'en chaque point M d'ime des surfaces considérées, le plan tangent contient la tangente MA à celle des génératrices (G) qui passe par ce point, ou encore que la normale en M à la surface est normale à la courbe génératrice passant par M : propriété évidente géométriquement, car le plan tangent, en M, contient les tangentes à toutes les courbes, passant par M et situées sur la surface.

On retrouvera tout ce qui a été dit en particulier pour les cylindres, cônes, surfaces de révolution, en particularisant les fonctions u el v :

(Cylindres)

u = az — cx^

-cy\

(Cônes)

(Surfaces de révolution)

En prenant

666 CHAPITKK XXIf.

on aurait des conoïdes ayant pour arête O^ et pour plan directeur xOy.

II. — INTEGRATION DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE LINÉAIRES EN p ET q,

389. Forme de l'équation; interprétation géométrique. — Une équation linéaire en p et q est de la forme

(i) pf(^^ yj ^) -+■ q 9(^^ 7: ^) "= '\'(^i r^ ^),

où z est une fonction de x ely^ p et q désignant les dérivées partielles -^ et -^; les coefticients/(:r,y, s), ts (^,y, :;) et 'l (x^y^ z)

sont des fonctions données de x^ >', z.

Nous nous proposons d'intégrer cette équation, c'est-à-dire de trouver toutes les surfaces vérifiant cette condition (i).

Pour cela, nous commencerons par interpréter géométriquement la relation donnée (i). Soit M un point quelconque de l'espace ayant pour coordonnées x^ y^ z', faisons correspondre à ce point

Y'xs,. 2oG.

{fif[. 2o()) un vecteur MA, ayant pour origine le point M et pour projections sur les trois axes

(MA) X=/(^,jK, .-), \ = ^{x,y,z), Z^^{x,y,z).

De cette façon, on fait correspondre à chaque point M de l'espace un vecteur INf A appliqué à ce point.

Soit S une surface : pour quelle vérifie V équation aux dérivées partielles donnée^ il faut et il suffit ([u^en chacun de ses poitUs M le vecteur correspondant MA soit tangent à la surface.

En effet, pour exprimer cette propriété, il suffit d'écrire que la normale en M à la surface (coefficients directeurs /?, ^, — i) esl

EXEMPLES d'Équations aux dérivées partielles. 667

perpciifliciilaire au vecteur MA (coefficients directeurs X, Y, Z), ce qui donne la condition

ou encore

ce qui est précisément l'équation à intégrer.

Les surfaces cherchées sont donc ce qu'on peut appeler les surfaces de forces du champ de forces (X, \ , Z), par analogie avec les lignes de forces qui sont des lignes te /les que le vecteur MA correspondant à chacun de leurs points leur soit tangent.

390. Intégration. — D'après ce qui précède, intégrer l'équation (i), c'est trouver les surfaces de forces S du champ X, \, Z.

Pour cela, nous commencerons par chercher les lignes de forces G du champ qui seront les courbes génératrices des surfaces S

Soient dx^ dy^ dz les projections d'un déplacement infiniment

petit eflectué sur une ligne^ de forces G, à partir d'un point M (.27, j', z) ; la tangente, en ce point, devant coïncider avec le vecteur de projections /(.r, r, z)^ o ( .r, y, z) elà (x^ v, :;), il faut et il suffit qu'on ait, tout le long de la courbe,

dx dy . dz.

Telles sont les équations diflerentielles des covirbes cherchées.

L'intégration de ces équations (G) conduit, comme nous l'avons vu (n**^ 374 et 376), aux équations des lignes de forces G sous la forme

('■i) JK= ?i(^, C,, C2). ^ = ç.(^, C,, G,),

avec deux constantes arbitraires. Résolvant ces équations par rap- |)ort aux deux constantes, on mettra les équations des courbes

génératrices G sous la forme

Ces équations définissent une famille de courbes à deux paramètres C| et Ga, telle que, par chaque point de l'espace, il passe une de ces courbes.

Les lignes de forces ou courbes génératrices étant trouvées, pour engendrer une surface S répondant à la question, c'est-à-dire une surface intégrale, il suffit d'assujettir les lignes de forces (3) à se déplacer en s'appuyant sur une directrice donnée D. Elles engendrent alors une surface intégrale S : en efTet, soient M un point quelconque de la surface S ainsi engendrée, MG la courbe génératrice passant par M, le vecteur MA correspondant au point M est tangent en M à la surface S, car il est tangent à la courbe MG située sur la surface.

En outre, en faisant varier la forme et la position de la direction D, on obtient ainsi toutes les surfaces intégrales S : en effet, étant donnée une surface intégrale S, c'est-à-dire une surface telle que le vecteur MA correspondant à chacun de ses points lui soit tangent, il est évident qu'on pourra tracer sur cette surface une famille de courbes G telles que la tangente, en chaque point M de chacune de ces courbes, soit le vecteur correspondant MA. Ea surface intégrale considérée S peut donc être considérée comme engendrée par une suite de lignes de forces G.

Analjtiquement, si l'on assujettit la ligne de forces

(4) u(x,y, z) = Cl, v(x, y, z) z=C2

à s'appuyer sur une directrice donnée D, cette condition s'exprime par une relation

(3) F(Gi. C„) = o

entre les deux constantes. E'équation de la surface intégrale ainsi engendrée s'obtient en éliminant C| et Go entre les équations de la génératrice (4) et l'équation de condition (5). On obtient ainsi l'équation générale des- surfaces intégrales sous la forme

(5) F(«. r) = o, où F désigne une fonction arbitraire.

EXEMPLES d'Équations aux dérivées partielles. 669

IXemarque. — On voit que la surface intégrale S est déterminée quand on l'assujettit à passer par une courbe donnée D : elle est, en effet, engendrée parles génératrices (4) s'appujant sur D.

Il j ^ exception quand la courbe donnée, par laquelle doit passer la surface intégrale, est une ligne de forces Go- Il existe, en effet, une infinité de surfaces intégrales passant par une courbe génératrice donnée Go ; ce sont toutes les surfaces que l'on obtient, en déplaçant la courbe génératrice G d'une manière continue, à partir de la position Gq, ce qui peuit être réalisé d'une infinité de manières.