Premier exemple. — Intégrer l'équation

(6) py — qx = 0.

Gette équation rentre dans le tjpe général (i ), où l'on fait

Il faut alors considérer le champ de forces

Les équations difïérentielles des lignes de forces sout

dx dy dz y ~ — X ~ o ' Elles s'écrivent

X dx H- y dy = o, dz = o d'où, en intégrant,

(7) x''^y^=Ci, z=^C.2,

G| et Go désignant deux constantes arbitraires. Actuellement, les équations des lignes de forces se présentent toutes résolues par rapport aux constantes arbitraires.

Quand Gi et G^ varient, on voit que ces courbes sont des cercles dont le plan est perpendiculaire à O3 et le centre sur O :?.

Les surfaces intégrales sont engendrées par ces courbes, s'appuyant sur une directrice quelconque : ce sont des surfaces de

670 ' CHAPITRE XXii.

révolution autoiii' de G:;. Leur équali(3n générale est

F désignant une fonction arbitraire.

Lne de ces surfaces intégrales est déterminée quand on donne une courbe D, par laquelle elle doit passer, excepté dans le cas où cette courbe D serait une ligne de forces, c'est-à-dire un cercle dont le plan est perpendiculaire à Oc et le centre sur Oz.

39!2. Deuxième exemple. — Soit S une surface : prenons un point M de la surface, menons la perpendiculaire MP au plan des œy {fig- '>>o8) et la normale MiN à la surface jusqu'au point N

où elle rencontre le plan ^O >' : on demande de déterminer la surface de telle façon que Caire du triangle 0P\ soit proportionnelle à V abscisse du point W.

Soient x^ y, :; les coordonnées du point M. Le point P, dans le plan J?0)', a pour coordonnées x et j^. D'autre part, la normale en M a pour équations, en appelant X, Y, Z les coordonnées courantes,

X — ^ Y— jK Z — -

et le point N où elle perce le plan xOy^ Z = o, a pour coordonnées

\ = jc -\- pz, Y — y ^ q z.

La surface du triangle OPN dont les sommets ont pour coordonnées (.r, y) et (\, Y) est donc (n" 46)

EXEMPLES d'Équations aux dérivées partielles. C*»!

La condition

aireOPN = /;r

(A constante) conduit donc à l'équation différentielle

qzx — p zy = 'ikx, équation du type (i) où

(<^) fi^^y^ z) = — -y, ?(^, r»-) = -^5 ^{x,y, z) = ikx.

Il faudra donc considérer ici le champ de forces X = — zy^ \ = zx, ^ l.= ikx.

Intégrons cette équation. Les équations différentielles des lignes

de forces G sont

dx dy dz

— zy zx ikx

Egalant les rapports extrêmes au deuxième, on a les deux équations

X dx H- y dy = o, z dz — ik dy = o

ou, en intégrant,

(g) ;^.2^^2=G,, z^--i\ky=C,. ^

Telles sont les équations des lignes de forces, avec deux constantes arbitraires G, et G^ : ces équations se présentent toutes résolues par rapport à G, et G2.

Les surfaces intégrales sont engendrées par les courbes (9) assujetties à la condition de s'appuyer sur une directrice donnée D Leur équation générale est donc

F{x^+y\ z^--\ky)^o,

V désignant une fonction arbitraire.

Par exemple, on aura des surfaces intégrales en prenant

x^-^y^-(z^'-f^ky) = b^-, (x^-^y^){z^-/iky) = c^,

a^ b, C désignant des constantes, et, d'une manière générale, en établissant une relation quelconque, à coefficients constants, entre x--\-y- et z- — i/^y»

Une surface intégrale est déterminée, quand on l'assujettit à passer une courbe donnée D. Cherchons, par exemple, celle qui passe par l'axe O)'. Elle est engendrée par les courbes (9) assujetties à s'appuyer sur l'axe O)', ayant })our équations

Pour exprimer que la courbe (9) rencontre la courbe (10), il faut éliminer x^ r, g entre les quatre équations (9) et (10). Ce qui donne immédiatement

(il) i6k^Gi — Cl = o.

Il reste alors à chercher la surface engendrée parles courbes (9), quand C, et Co sont assujettis à cette condition (11). L'équation de cette surface s'obtient en éliminant C| et Co entre les équations (9) et (il), elle est

i6k^ix^-~y^) — (z^'—/i/cyy' = o.

393. Troisième exemple. — Soit g- (x, >) une fonction donnée de X et )'; proposons-nous d'intégrer l'équation

ou

(-) Ig-

Oy Ox

Le champ de forces est ici

ôy

Ox'

D'après la méthode générale, les équations des lignes de forces

sont

dx dy dx

~àg ôj ~ o ' ^

dy Ox

ou

' Ox Oy -^

EXEMPLES d'Équations aux dérivées partielles. 673

Ces équations s'intègrent immédiatement et donnent

L'équation donnant l'intégrale générale demandée est donc

ou, en résolvant par rapport à ;;,

Ainsi, toutes les fois que deux fonctions de x et y vérifient identiquement la relation (i3), l'une d'elles est une fonction de

l'autre :

Remarque. — Le piemier membre de Féquation (i3) s'appelle le déterminant fonctionnel ou le jacobien des deux fonctions z