III. - EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE

394. Forme générale. — Une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre, à deux variables indépendantes x et r, est de la forme

(0 F(^, JK, z, p, q, r, s, t) = o,

où />, q, r, s, t sont les dérivées partielles premières et deuxièmes de ; par rapport k.x et y.

Intégrer cette équation, c'est trouver les fonctions z de x et y vérifiant cette équation. La fonction ;, la plus générale, satisfaisant à l'équation dépend àedeax fondions arbitraires^ de telle façon qu'une surface S, vérifiant l'équation, est déterminée, quand on se donne une courbe par laquelle elle doit passer et la loi des plans tangents à S le long de cette courbe.

Nous traiterons un seul exemple, en cherchant les surfaces pour lesquelles la courbure totale est nulle en chaque point. Pour ces surfaces, le :: d'un point, considéré comni-e fonction de x et y\ vérifie l'équation

(•i) rt — 5- = o,

Ai'iMOLL. — ÉU'/nc/iis d'Analyse. — st. 43

C'est cette équation que nous allons intégrer : nous allons montrer que les surfaces intégrales sont les surfaces développables. En effet, en introduisant les dérivées premières

dz âz

on peut écrire l'équation (2)

dp dq dp dq

dx df dy dx '

Or, nous avons vu (n** 393) que, quand deux fonctions z et g vérifient la relation

dz dg dz\ dg dx df dy dx '

l'une est une fonction de l'autre. Donc, actuellement, p est une fonction de q :

Cela posé, l'équation du plan tangent en un point de la surface

est

OU

p\ -\- q\ — Z-r-J3 — px — qy = o.

Dans cette équation, on a

en outre, le terme

u = z — px —- qy

est aussi une fonction de q. En effet, prenons la différentielle totale de li correspondant à un déplacement quelconque dx^ dy effectué sur la surface,

du = dz — p dx — q dy — x dp — y dq.

Comme

dz =:■ pdx -\- qdy^

p = <^(q), dp = 'Y(q)dq,

on a

du = — [x^'{q) -hy]dq.

Cette relation montre que a est fonction de q seul, car quand q

EXEMPLES d'Équations alx dérivées partielles. 673

ne varie pas dq=^o^ du = o et w |reste constant; et si q varie, u varie. Donc

L'équation du plan tangent à la surface cherchée est donc

La surface est alors l'enveloppe ^de ce plan, dont l'équation ne dépend que d'un paramètre q : c'est une surface développable