VALEUR NUMÉRIQUE D'UNE INTÉGRALR DEFINIE
OU
Fig. 209.
Pi Pa P3
Pn Pn.i ^
Cette formule donnera, pour Faire, une valeur d'autant plus approchée que n sera plus grand.
397. Emploi de la roulette Dupuit ('). — Cet appareil est formé de deux roues graduées R et R^ {fig- 210) réunies à un manche M. La première a 100™'" de circonférence et son axe porte un pignon engrenant avec la seconde qui a dix fois plus de dents que le pignon. La circonférence de R est divisée en 100 divisions, chacune de i™'", celle de R', en 10 divisions, dont chacune correspond à un tour complet de R. Un index I, fixé au manche, est placé en regard de R, un index analogue en regard de R'.
Pour mesurer la longueur d'une droite, on ramène d'abord chaque index sur le zéro de la graduation correspondante : on place ensuite l'appareil verticalement, de façon que le zéro de R coïncide avec l'une des extrémités de la droite et l'on pousse l'appareil de façon que la roulette roule sur la droite jusqu'à l'autre extrémité. Si, à la fin, l'index F est entre 3 et 4 et I indique 25 divisions, la longueur mesurée est 3 2 5™'".
Cela posé, pour mesurer avec cet appareil Faire d'un contour fermé quelconque, par exemple, Faire du segment PiABP,^^, considéré dans le numéro précédent, on prend un papier transparent, sur lequel on a tracé un réseau de parallèles équidistantes
(') Voyez Dariks, Cubature des terrasses et mouvement des terres, ^. 71, Gauthier-Villars.
dont la distance commune est une quantité connue £ {Jig- 210). On dispose ce papier sur le contour dont on cherche l'aire, de façon que deux des droites parallèles viennent se placer tangentiellement au contour en a et / : si 6c, de^ . . ., hk sont les points
Fig.
où les parallèles intermédiaires coupent le contour, on substitue à ce contour le polygone inscrit abd^ ..., hlk\ ..., eca dont l'aire
est évidemment
bc bc -+- de hk \
ou
t{bc -\- de -\- . ..^ lik).
En promenant la roulette successivement le long des droites bc^
VALEUR NUMERIQUE D UNE INTEGRALE DEFINIE.
de^ ..., hk, on lit sur l'appareil la somme de ces droites, et, en multipliant par la qualité connue £, on a une valeur approchée de Taire.
Fi g. 211.
Si le contour présente des points anguleux, comme dans la figure, il faut autant cpie possible placer le papier transparent de façon que chacun de ces points se trouve sur une des parallèles.
398. Méthode de Simpson. — La méthode de Simpson repose sur ce fait qu'on peut faire passer une parabole dont l'axe est parallèle à Oj/ par trois points donnés. En etfet, l'équation d'une telle parabole étant
on peut disposer des coefficients a, [ïi, y, de façon que la parabole passe par trois points.
Ceci posé, pour évaluer l'aire d'un segment P, ABP,/^, i^fig- 209), on divise la base Pi P//(.i en un nombre pair i^n = 2p) de parties égales et l'on mène les ordonnées correspondant aux points de division P,, P^, ..., P,i+i '• soient, comme précédemment, ^,,^25 ^3, . . ., yn+i: ces ordonnées, e la distance de deux ordonnées consécutives.
Dans la méthode de Simpson, on substitue à l'arc de courbe AM2M3 un arc de parabole d'axe vertical, passant par les trois mêmes points. L'aire du segment parabolique PjAMoMaP;, ainsi défini est (n" 33)
-^(ri+r3+4jK2),
car la distance h des ordonnées extrêmes est ici as. De même, par
68o CHAPITRE XXIII.
les trois points M3, M,, M5, on fait passer une parabole d'axe vertical et l'on remplace l'aire P3M3M4 iVl5P5, par l'aire du serment parabolique
•^(r3-Hro4-4jK4),
et ainsi de suite. L'aire de la courbe a alors pour valeur approchée la somme de ces segments paraboliques
Si la courbe et les ordonnées sont tracées avec soin, on peut évaluer la somme entre parenthèses à l'aide de la roulette de Dupuit.
399. Formule de Poncelet. — Les formules précédentes ont le désavantage de ne pas donner de limite pour l'erreur commise : cet inconvénient disparaît avec la méthode de Poncelet. Dans cette méthode, on commence par diviser l'arc de courbe considéré en arcs tels que, le long de chacun d'eux, la concavité soit dirigée dans le même sens : on évalue ensuite séparément l'aire de chacun des segments limités par ces arcs.
Soit alors M<M7 un de ces arcs : admettons qu'il tourne sa concavité vers l'axe Ox. Divisons la base Pi P7 du segment en un nombre pair de parties égales à s, en six parties, pour fixer les idées {fig. 212). Soient M2P21M3P3, ...,M(,P6 les ordonnées intermédiaires. Menons par les points M, d'indices pairs, des tangentes à la courbe, en limitant ces tangentes aux points où elles rencontrent les prolongements des ordonnées voisines, d'indices impairs : ainsi la tangente en M2 est limitée aux points R, et R3. où elle rencontre les ordonnées P4M, et P3M3. D'autre pari, menons les cordes MjM^, M2M,,, M^Mg, M^Mr. L'aire cherchée S est comprise entre l'aire circonscrite G, formée par les trapèzes tels que P, R< R3 P3, et Taire inscrite I limitée aux cordes : ces aires sont des sommes de trapèzes
VALEUR NUMERIQUE D UNE INTEGRALE DEFINIE.
Nous aurons une valeur approchée de Taire cherchée S, en pre-
nant la demi-somme de ces deux grandeurs
— — = e r^^-"^ ■" — 4-^ -+-2<^r2-+-r4+r6)J• L'erreur commise sera inférieure à la demi-différence
Fiff. 212.
en effet, supposons par exemple S >> ; l'erreur commise est
et, comme S <; G, elle est inférieure à G '- ou à • On a
erreur <
{il.
■y& .ri-+-r^
On peut interpréter géométriquement cette valeur : soient H et K {/îg'. 212) les points de rencontre de l'ordonnée du milieu M, V, avec les droites Mo Mo et M, M^, on a
HP,= ll±Il,
KP,= Zl±ZZ,
erreur < — HK.
En général, si, au lieu de 7 ordonnées, on en mène un nombre impair 2/i-f-ï, la valeur approchée de l'aire est
rZJL±Zi±
1 ri-^.r-2n
et l'erreur commise est moindre que
INTEGRATEURS ET INTEGRAPHES.
400. Principe des intégrateurs. — Les intégrateurs sont des appareils qui, par un procédé mécanique, enregistrent l'aire d'un contour fermé.
La pièce essentielle des intégrateurs est une tige rectiligne AB, qui se déplace parallèlement au papier portant Faire à évaluer et sur laquelle est fixée une roulette circulaire R, mobile autour de l'axe de la tige. Quand on déplace la tige d'une manière continue en appuyant la roulette sur le papier, celle-ci roule suivant une certaine loi, et un compteur enregistre le nombre de tours et de fractions de tour qu'elle accomplit.
Examinons d'abord quelques déplacements élémentaires de la tigeAB(». 2i3).
Fie. 2i3.
i*^ La tige glisse sur elle-même, de AB à A'B' par exemple; il est évident que la roulette ne tourne pas.
2** La tige se déplace parai lèlem, eut à elle-même, de façon à balayer l'aire d'un rectangle AA, B^ B : la roulette roule constamment de R en R, ; si l'on appelle s Tare de la circonférence de la roulette, compté, à partir d'une origine fixe, sur la roulette jusqu'au point de contact avec le papier, l'accroissement Is de cet arc est égal à RRi, c'est-à-dire à la hauteur h du rectangle.
3° La tige se déplace parallèlement à elle-même, de façon à balayer l'aire AA'BB" d'un parallélogramme {fig- 21 3) : l'expé-
VALEUR NUMÉRIQUE d'uNE INTÉGRALE DÉFINIE. , 683
rience montre que la roulette enregistre seulement le déplacement normal à son axe, c'est-à-dire que l'arc ^s de circonférence, qui vient en contact avec le papier, est égal à la hauteur h du parallélogramme. Cet arc est le même que si l'on amenait la tige de AB à A'B", par une translation de AB en A,B, normalement à AB, suivie d'un glissement de A, B, en A'B'.
4*^ La tige tourne autour d'une de ses extrémités^ A par exemple, d'un angle AoL'{/ig. 2i3 6m). Dans ce déplacement, la roulette roule constamment sur l'arc de cercle RR', décrit de A comme centre, avec AR comme rayon. On a donc, en appelant A
la distance AR,
i\s =^ XAa.
401. Mesure des aires. — Imprimons maintenant à la tige AB un déplacement continu qui l'amène de AqBo en A,B, en faisant
Fig. 214.
décrire à ses deux extrémités les arcs de courbe AqAA, et BqBB, (fig. 2 1 4 ). Appelons / la longueur AB, X la distance AR et a l'angle que fait la tige dans une position quelconque AB avec une direction lîxe Ox. Soit u l'aire AoBoBA; quand la tige suliit le déplacement infiniment petit qui l'amène de AB en AB', l'aire u croît de du=:ABB'A'. Si, par A', on mène une droite A'B", égale et
684 CHAPITRK xxiri.
parallèle à AB, on peut regarder Taire infiniment petite du comme égale à la somme du parallélogramme ABB'A' de hauteur h et du secteur B'A'B' dont Fangle est dci. :
du =z Ui -\ /2 dy..
Calculons Tare ds de roulette, qui s'est appuyé sur le papier dans le mouvement de AB en A'B'; cet arc est la somme de deux arcs : l'un A, provenant du déplacement de AB en A'B", et l'autre A^/a, provenant du déplacement de A'B" en A'B' (déplacements élémentaires 3** et 4**)- On a donc
ds = A -f- \d'j..
L'élimination de h entre ces deux relations donne
(i) du = I ds^i^- i^—l\\ dy..
Cette formule est générale, à condition de regarder h comme positif ou comme négatif, suivant que la roulette tourne dans un sens ou dans l'autre. Par exemple, la position des tiges infiniment voisines AB et A'B' peut être celle de la figure 3i5 où <ia est
négatif :
Fig. 2 1 5.
