Aire d'un segment parabolique. — i*^ Soit d'abord une

parabole

y = kx'-

rapportée à son axe comme axe Oy et à la tangente au sommet comme axe Ox. Cherchons Taire A du segment OMP (fig. i^).

On a

f/.V =: y dx = ka- dx, A = A •— — h G.

L'aire devant s'annuler avec x^ G est nul, et l'on a

k X'^ xy

L'aire OMP est donc le tiers du rectangle OHMP; l'aire comprise entre l'arc OM et sa corde est donc le sixième du même

rectangle.

Fii

Fig. .1

Mo'

Po

yo

IJnt

2° Prenons maintenant un cas plus général et considérons un segment de parabole limité par un arc de parabole MqM,, une perpendiculaire PqPi à Taxe de la parabole et deux parallèles MoP,, etM<P^ à cetaxe (/«•. i8).

Prenons comme origine le point Po, comme axe Oy la droite PoM^ et comme axe Ox la droite PoPi. Appelons h la distance PoP<, yo et y, les deux ordonnées extrêmes Mo Po et M, P,. L'équation de la courbe est de la forme

y z= ax^-\- bx ^ c,

a, 6, c étant des constantes. Si l'on appelle A l'aire PqMoMP comprise entre Mo Po et une ordonnée variable MP d'abscisse .r, on a

dS. — y dx 1= a 372 dx -\- bx dx -+- c dx^

d'où, en intégrant.

L'aire A devant s'annuler avec x^ la constante G est nulle ; l'aire

PoMoMPestd

onc

A = a— — i-6 \- ex.

L'aire demandée S = PoMoM,P, s'obtient en donnant à x la valeur h

S = rt— — \- b — -f- ch.

Pour interpréter ce résultat, remarquons que les ordonnées jo et y, correspondant k x ^=^ o qI x ^= h sont

Ta = c, Ji = ^^4^ ^- ^^' + c. .

Introduisons, en outre, l'ordonnée médiane M'P' équidistante

des ordonnées extrêmes; en appelant y m cette ordonnée qui

correspond a j^ = -, on a

h^ , h y,» = a---f-6--hc.

On vérifie alors immédiatement qu'on a

S == -g^JKo-+-JKl+4rm)-