VALEUR NUMÉRIQUE DUNE INTÉGRALE DÉFINIE

directions A„Bo et A, B, avec Ox :

(2) Aire AoBoBiAi= /5-h/^ Z^— /xVai-oco).

La quantité 6* se lit sur le compteur qui enregistre le nombre de tours de la roulette : a, — an est rangle de deux positions extrêmes de la tige.

On voit qu'on ferait disparaître cet angle en prenant A = -, mais cela est inutile, car le terme dépendant de l'angle disparaît de lui-même quand on mesure l'aire d'un contour fermé, ainsi qu'on le verra plus loin.

402. Cas où la roulette est sur le prolongement de la tige. — Nous avons supposé, dans ce qui précède, la roulette placée entre A et B. Les formules seraient les mêmes, ^i la roulette était fixée sur le prolongement de la tige. Si la roulette est sur le prolongement de la tige dans le sens AB, A est supérieur à /. Si elle est sur le prolongement de la tige dans le sens BA, il suffit de supposer A négatif. Avec ces conventions, la formule (2) s'applique à tous les cas.

403. Aire d'un contour fermé. — Soit une courbe fermée quelconque dont il s'agit d'évaluer l'aire S (fig- 216). Traçons une courbe auxiliaire HH' ne traversant pas l'aire et plaçons la tige AB de telle façon que l'extrémité A glisse le long de HH^, tandis que l'extrémité B décrit la courbe G dans le sens de la flèche d'un mouvement continu. Soient Aq et A, les positions extrêmes du point A sur la courbe HH' dans ce mouvement, Aq Bo et A, B, les positions correspondantes de la tige. Quand B va de Bo à B< par l'arc supérieur BoBB<, la somme algébrique des aires élémentaires du^ balayées par la tige, est AoBoBB,A,; quand le point B revient de B, en Bo par l'arc inférieur B,B'Bo, le point A revient de A< en Ao et la somme algébrique des aires du balayées par la tige est l'aire AiB,B'BoA(, changée de signe. Donc, quand] le tour est complet, la somme algébrique / du est égale à l'aire S de la courbe G,

S = fdu = flds -+- fl- /2 n\ da.

Coiiime, dans ce mouvement, la tige reprend la même direction qu'au départ après une suite d'oscillations entre deux directions

l'on a

limites, la somme / dy. des variations aneulaires est nulle et

Soient n le nombre de tours et de fractions de tours effectué pai la roulette, /' son rayon, on a

s = iTzrn, S = 111 r In.

Si l'on construit l'appareil de façon que '27zrl= i, on a

L'aire cherchée se lit donc directement sur le compteur. 11 est essentiel, pour que cette formule soit exacte, que le point A ne fasse qu'aller et venir le long d'un arc de HH' et que

j dy^ soit nul.

Théoriquement, cette courbe HH' est quelconque. Pratiquement, on lui donne la forme soit d'un arc de cercle, soit d'un segment de droite.

VALEUR NUMÉRIQUE d'uNE INTÉGRALE DÉFINIE. 687

404. Planimètre d'Amsler. — Dans cet appareil, la courbe HH' est un arc de cercle {fig- 217). On oblige le point A à décrire un arc de cercle, au moyen d'une bride OA, rattachant l'extrémité A

à un point fixe O, le point B décrit la courbe C dont on veut évaluer l'aire. Pour que la formule

S = ir, rln

s'applique, il faut que, après un tour complet de B sur la courbe, le point iV ait décrit deux fois, en sens inverses, le même arc de cercle et que la tige revienne à sa direction première sans avoir fait de tour sur elle-même.

Quand la courbe G est trop grande par rapport aux dimensions

Fig. 218.

de l'appareil, on peut la fractionner. On peut aussi placer le point fixe O dans l'intérieur de C ^fig- 218), dételle façon que le cercle, lieu du point A, soit dans l'aire cherchée, et faire décrire au point B la courbe C. L'aire balayée par la tige AB est alors Taire de la couronne comprise entre le cercle et la courbe. On a

donc, en appliquant la formule (2) et remarquant que, la direction de la tige faisant un tour complet, la différence ol\ — ^0= 271,

couj'oniu L'aire de C est alors

is-\- {'- r--n\ iT,.

La quantité

s = is-\- ( - n—ii I '2-4--0A .

Is = 2- ri n est donnée par le compteur; la quantité

/2 II] .,^- + -r ÏÏÂ'

est une constante de l'appareil calculée une fois pour toutes. On a donc l'aire immédiatement.

40o. Deuxième forme du planimètre. — On a construit également des planimètres ou intégrateurs, dans lesquels la courbe HH' est une droite Ox (fig- 219). La tige AB est articulée, par A, à

Fig. 219.

un chariot assujetti à glisser le long d'une rainure rectiligne; le point B parcourt la courbe C, dont on veut déterminer l'aire S. La roulette R enregistre cette aire d'après la formule précédente

S = Is = -x - rln.

On peut dire que cet appareil donne la valeur de; l'intégrale / y dx^ prise le long de G.

VALEUR NUMÉRIQUE d'uNE INTÉGRALE DÉFINIE. 689

D'autres roulettes fixées sur l'appareil, par l'intermédiaire de multiplicateurs d'angles, donnent en outre les intégrales

fj^d., fy^é.

qui se présentent dans le calcul des centres de gravité et des moments d'inertie.

406. Exercice. — On considère une tige AB qui porte u\\& roulette, comme dans le n" 401, et l'on suppose que ses deux extrémités A et B décrivent des courbes fermées d'aires S et S. Démontrer les résultats suivants :

i" Si la tige revient à sa position primitive, sans avoir fait un tour sur elle-même, on a

•2" Si elle revient à sa position primitive après avoir fait un tour, on a

2 S = /5-+-'2 7r (- — /X"); 3° Si elle fait k tours,

2 — S = /s^-2/c7r ('^ - /xV

Lorsque l'extrémité A ne fait qu'aller et venir sur un arc HH' (n" i03), l'aire S décrite par A est nulle; les formules donnent alors l'aire S décrite par B.

407. Intég-raphes. — Les appareils que nous venons de décrire donnent la valeur nujnérique d'une aire. Il existe d'autres appareils appelés intégraplies représentant graphiquement la variation de l'aire d'un segment de courbe donnée.

Soit ^fig. 220) une courbe

coupant Or en a. Cherchons une autre courbe dont l'ordonnée Y vérifie l'équation

L'ordonnée \ de cette nouvelle courbe est donnée par la for-

Apim-:ll. — Éléments d'Analyse. — st. 4j

mule

X ) dx,

OÙ G est une constante arbitraire.

Soient X = OP une valeur attribuée k x^ m le point correspondant de la courbe (3), M le point correspondant de (5),