Sinusoïde. — Prenons enfin la courbe

y = %\nx

et cherchons l'aire A comprise entre Tare de courbe OM, l'axe Ox et l'ordonnée MP. On a

dK =^ y dx ^= 'i'\n x dx , A= — coso^-f-C.

L'aire devant s'annuler pour :r = o, on a

d'où

A = i — cosiT = 2 sin^ —

L'aire de Fonde OMO' s'obtient en faisant X — r.\ elle est donc 2. Si ^ a une valeur supérieure à tt, égale à OP' par exemple, la formule donne pour A la différence OMO' — O'M'P' : en particulier, pour X = 271, elle donne zéro, ce qui est bien la différence des ondes OMO' et O'M'O".

35. Définition. — Soit/(:r) une fonction continue donnée et o[x) une fonction ayant pour dérivée /(a:)

nous avons appelé intégrale indéfinie de la différentielle /(:r) dx et désigné par la notation //(x) <i:r la fonction la plus générale ayant pour différentielle /(j:) dx] nous avons vu qu'on a

OÙ G est une constante arbitraire.

Assujettissons cette intégrale à s'annuler pour une valeur donnée de X, .r = a; nous aurons

Nous affecterons d'un indice inférieur a l'intégrale indéfinie ainsi particularisée, de sorte que nous aurons

f{x) dx — co(.r) — cp(a).

Géométriquement {fig. 20), si l'on trace la courbe y=f(^x)^ cette expression donne la valeur algébrique de l'aire du segment PoMoMP depuis l'ordonnée MoPo, correspondant à l'abscisse a, jusqu'à une ordonnée quelconque d'abscisse x. En effet, cette aire s'annule manifestement quand x = a^ c'est-à-dire quand P coïncide avec P^.

Gherchons maintenant la valeur de l'intégrale / f(x)dx, pour

une valeur donnée attribuée k x^ x = b', nous aurons une exprès-

sion que nous désignerons par / f{x) dx et qui a pour valeur

f f{x)dx = o(b)-<^(a);

cette expression est V intégrale définie àe j\x) dx prise entre les limites a et h. La quantité a est la limite inférieure, b la limite supérieure : l'expression s'énonce somme a, b^ J\x)dx.

Fie. 20.

Géométriquement {fîg. 20), cette intégrale représente la valeur algébrique de l'aire du segment de la courbe y=f[x)^ depuis l'ordonnée MoP,, d'abscisse a, jusqu'à l'ordonnée M,P, d'abscisse b.

Analjtiquement ce symbole

f f{x)dx

est la limite de la somme algébrique des rectangles inscrits : / f{x)dx=\\vi\\{xx — a)f{a)

+ (.ra — X^ )f(Xi }-h...-^{Ô — Xn-^l )f{Xn-\ )]

36. Calcul des intégrales définies. — D'après la formule Ç f{x)dx=^ib)-^{a),

si l'on connaît une fonction cp (a?) ayant pour dérivée y (:r), on obtient immédiatement la valeur de l'intégrale en prenant la différence des valeurs de co(a^) pour ^r = 6 et jc = a.

FONCTIONS PRIMITIVES. — INTÉGRALES »M)ÉFINIES. 6l

Ainsi, - étant la dérivée de Lx,

étant la dérivée de arc ûnx^ on a

dx . . 71

ziz=r = arc SI n I — arc sino = - -,

car, en suivant, par continuité, la variation de arcsin^r quand

X varie de o a i , on voit que arcsinj^ part de o pour arriver a -

de sorte que

arc sino = o, arc sin i = -

Mais, dans la plupart des cas, on ne peut pas exprimer, à l'aide de fonctions déjà connues, la fonction o{x') dont nous avons seulement prouvé l'existence; on est alors obligé d'avoir recours à d'autres méthodes pour calculer l'intégrale définie :

f( X ) dx.

Nous donnerons plus tard des méthodes analjticpies, graphiques ou mécaniques, pour évaluer les intégrales définies. Nous nous bornerons, pour le moment, à remarquer que le calcul d'une intégrale définie revient toujours à la détermination de l'aire d'un segment de courbe.

37. Propriétés des intégrales définies. — Théori:me I. — La valeur d'une intégrale définie ne dépend pas de la variable d' intégration^ mais seulement des limites. — En effet, dans le second membre de la formule

f f{x)dx = ^(b) — o(a),

ne figure plus la variable x. L'intégrale

/ /{x)dx = ^(x) — ^^{a)

t)2 CHAPITRK III.

dépend de x qui est la limite supérieure et non de la variable d'intégration; on aurait aussi

f f{t)dt^^{x)-o{a).

Théorème II. — Une intégrale définie change de signe quand on intervertit les limites. — En effet, on a, en intervertissant a et b^

expression qui est de signe contraire à la précédente.

On peut aussi se rendre compte de ée fait d'une autre manière, en se reportant à la définition même de l'intégrale; en effet, en supposant, pour fixer les idées, a <Zb, dans la sommé

h /( X ) dx

les ordonnées f{oc) sont multipliées par des accroissements inlinimeiU petits dx qui sont positifs, car x croît àe a k b, et, dans la somme

f{x) dx^

les mêmes ordonnées /(.r) sont multipliées par des accroissements infiniment petits dx qui sont négatifs, car ^ décroît alors de /> à a. Les deux sommes sont donc formées d'éléments égaux et de signes contraires; ■ elles sont égales en valeur absolue, mais de signes contraires.

Théorème III. — Fractionnement de Vintervalle dHntégration. — Soit c un nombre tel que la fonction J'{x) soit continue dans les deux intervalles (a, c) et (c, />); on a

/ f{x)dx^ f f{x)dx^ f f{x)dx.

En effet, la première intégrale est cp(^) — '^{ci) et les deux autres cp(c) — 'f(<^) etc5(^) — 'f(c); si l'on substitue ces valeurs, le théorème devient évident.

FONCTIONS PRIMITIVES. — INTEGRALES Ï#«)EFINIES. Do

Graphiquement, en supposant c compris entre a et />, ce fractionnement de l'intervalle revient à diviser l'aire du segment P(,M,)M,P| {fig- 20)' en deux autres, à l'aide d'une ordonnée intermédiaire MP d'abscisse c, et à écrire que l'aire totale est la somme des deux aires partielles.

Remarque. — En faisant passer les deux intégrales du second membre de la formule ci-dessus dans le premier, et en intervertissant ensuite leurs limites, on peut écrire la formule

j f{x)dx-^ j fix)dx-i- I /(

x) dx = o.

TnÉORi-ME IV. — La dérivée de Uiiitégrale j f{x)dx^par

rapport à la Limite supérieure 6, est f(b)', sa déi-ivée^ par rapport à la limite inférieure a, est — /(«)•

En effet, appelons '^(^) une des fonctions primitives dey(:r), c'est-à-dire une fonction telle que

On a

1= f f{x)dx = oib)-o{a).

•La dérivée de I, par rapport à />, -^r, est 0(6), c'est-à-dire /(/>) ; cl sa dérivée -y-, par rapport à a, est — 'f (<^)) c'est-à-dire — /(<^).

Tui'ORÈME V. — Supposons que b soit supérieur à a et que^ pour toutes les valeurs de x comprises entre a et 6, on ait

f(x)lff{x);

/{x) pouvant être égale à g [x) pour certaines valeurs particulières isolées de x, on a également

l fyx)dx > / g{x)dx.

En effet, la première intégrale est

lim[(a:-i— «)/(«)-+- (372— a7i)/"(irt ,)-+-• • .-¥■ (b — Xn^^)J{Xn-x)\

el la deuxième

lim[(.-r,— a)g{a) -+- (.7-2— x^) g^x^) -^ . . .-^{b — x„ 1 ) ^(a"„-, )].

Comme ^> a, les facteurs (;r, — a), (^r^ — ^i), . . . , (6 — j:"»-») sont positifs, et les termes de la première somme sont tous plus grands que ceux de la deuxième. La première somme est donc plus grande que la deuxième.

Graphiquement {fig. 21), la première intégrale est Taire du

Fig. 01.

Mo

Mo

segment PyiVIoM, l^ de la courbe jk ^=^J\^)^ 1^ deuxième l'aire du segment de même base l^^ M'^ M'j 1^, de la courbe y'^=.g(^x)] la première courbe étant au-dessus de la deuxième, la première aire est évidemment supérieure à la deuxième.

Application. — Ce théorème permet de comprendre entre des limites une intégrale qu'on ne sait pas trouver exactement : soit par exemple (^ )

r dx__

où vz est une constante plus grande que 2. Comme x est moindre

rue

on Si X- ^ Jc" > o

\/ 1 — iC^ y/ 1 — .r"

L'intégrale l est donc comprise entre

dx

et

dx.

) Voir Skureï, Calcul intégral.

FONCTIOiNS PRIMITIVES. — INTEGRALES INDEFINIES. 65

c'est-à-dire entre

ou encore entre

arc sin - et

— =0,)9... et -=:0,30.

38. Valeur moyenne d'une fonction dans un intervalle. - Considérons une intégrale définie

et supposons b ^> a. Soit M la plus grande valeur que prenne f (x) quand x varie de a à b, et m la plus petite valeur de/(:p) dans le même intervalle. On a

donc, d'après le théorème précédent,

f Mdx> f f{x)dx.

Or, M étant une constante, l'une des déterminations de l'intégrale indéfinie àe lAdx el M.X et l'intégrale définie, entre les limites a et 6, est M {b - a). Donc

r f{x)dx< U{b~a).

On trouve de même

Jf f{x)dx^m{b — a).

D'après cela, en appelant ]x un nombre convenablement choisi entre M et m, on peut écrire

/ f{x)dx=.^^{b — a).

Si la fonction est continue dans l'intervalle d'intégration, elle passe au moins une fois par toute valeur comprise entre son

APPELL. — ST

maxinniiii M et son minimum ni] elle passe donc par la valeur ix pour une valeur àe x, x = c, comprise entre a et 6, et Ton peut

écrire

ta =/(.c), a^c^b\

d'où la formule

Ces formules sont évidentes graphiquement. L'intégrale

f f{oo)dx

représente l'aire du segment PoMoM,Pi {fig^ 22) de la courbe y-=zf(^x). Cette aire est évidemment comprise entre le rectangle

Fis. 2U.

Ro

Ri

Mo

-Ml

So

ce

PqRoRiPm de base (6 — a) ayant pour hauteur l'ordonnée maximum M, et le rectangle PoSûS/P< de même base ayant pour hauteur l'ordonnée minimum 7/2, c'est-à-dire entre M (6 — a) et ni{h — a). L'aire est donc équivalente à un certain rectangle PojJLoI-'^i Pj de base PqP» ayant une hauteur jji comprise entre M et m; la base supérieure [jloJ^i de ce rectangle coupe la courbe au moins en un point H d'abscisse c comprise entre a et è et l'on peut écrire

f{x)dx = {b — a)ix = {b — a)f{c).

On appelle valeur moyenne de la f onction f{x) de la variable x

FONCTIONS PRIMITIVKS. — INTÉGRALES **«)ÉF1NIES. 67

dans r intervalle (a, ^), la quantité |j. que nous venons de déjln ir

!'==zr

quantité qui est telle que le rectangle de base PoP< et de hauteur |j, soit équivalent au segment PoMoM,P<.

Voici comment on peut justifier cette définition. l*artageons la

droite PqPi en n parties A:r égales à par des points de

division d'abscisses x^, x^^ •••, 0Ca^ et considérons les Ji ordonnées équidistantes :

/(rt), /(a-i), /(a?.), ..., f{0Cn-\)-

La valeur moyenne de ces ordonnées est, d'après la définition ordinaire de la moyenne de n quantités,

/( a ) -^ fixx ) -\-f{x^) -4-. . .-^f(Xn-\ )

ou, en multipliant haut et bas par A^ et remplaçant n ^x par h — rt, -

Quand n augmente indéfiniment, le numérateur tend vers

I f{x)dx et la moyenne entre les n ordonnées équidistantes tend vers

il est donc naturel d'appeler cette expression la valeur moyenne def(x) dans V intervalle (a, b).

Exemples. — i° La valeur moyenne de sina; de o à t: est

— / ?,\nxdx=^—[{ — cost:) — ( — co-so)] = — ;

2^ La vitesse d'un mouvement vibratoire simple, comme ceux qu'on étudie en physique, est donnée en fonction du temps t par

la formule

. itJ

OÙ a est une constante linéaire et T une constante donnant la durée de la vibration. La force vive de la molécule vibrante de masse m est

nii- = ma^ sin^ —^ ;

la valeur moyenne de cette force vive, pendant que la variable t varie de o à T, durée d'une vibration, est

I r ' „ . ITZt ,

- / ma'^ sm^- -^^ dt

ou

f ma^ sin2 -— -

L'intégrale indéfinie est

t — --sin-— -

(on n'écrit pas la constante arbitraire G qui n influe pas sur le résultat) et l'intégrale définie est la différence des valeurs que prend cette fonction pour i z=z T et / = o, c'est-à-dire T. La valeur moyenne demandée est donc

ma-